Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
точек, определяемых уравнением (319). Здесь скалярное произведение k0-n
равно длине перпендикуляра ON, опущенного на касательную плоскость в
точке к<°>. При этом х равен (скажем)
ОХ, причем отрезок ОХ параллелен ON, а произведение их длин сохраняет
постоянное значение С (таким образом, X есть "полюс" касательной
плоскости). Соседняя поверхность постоянной фазы представляет собой
геометрическое место точек X', причем отрезок ОХ' снова параллелен ON, а
произведение их длин сохраняет несколько иное постоянное значение С.
где Fx (к2, к3) является двумерным фурье-преобразованием плоского
распределения источников
ОО
ft(x2, х3)= j f(x 1, х2, xs)dxt. (316)
- оо
Тогда (314) принимает вид
1 = ~2 л2 (р0Со)-1 ж-2 |fi (щх2/хс0, со0х3/хс0)|2, (317)
причем эта зависимость в принятых индексных обозначениях, как видно,
выражает результаты разд. (1.12), относящиеся к плоским распределениям
источников, если принять во внимание, что используемое там равно
произведению величины 2л2 (р0ш0)-1 на значение, определенное выше.
В эпилоге приводится еще ряд примеров использования общего результата
(295) для некомпактных распределений источников. Оснбзньщ результатом во
всех случаях является тог
4.10. Волны, генерируемые осциллирующим источником
451
факт, что нормаль к поверхности со = (о0 волновых чисел в направлении
возрастания со показывает то направление, в котором будут обнаружены
волны с определенным волновым числом, и что их амплитуда пропорциональна
фурье-компоненте распределения источников с этим волновым числом. В
некоторых-случаях интересна также форма поверхностей постоянной фазы
k(0).x = const. (318)
Так как к<0) есть точка на S с нормалью п в направлении х, уравнение
(318) означает, что
х = хп при х = const/(k(0) п). (319)
Таким образом, с геометрической точки зрения любая поверхность (319)
постоянной фазы (рис. 90) определяется как взаимная поляра поверхности
волновых чисел по отношению к началу координат, т. е. геометрическое
место полюсов ее касательных плоскостей.
4.10. Внутренние волны, генерируемые осциллирующим источником
Приведенная выше общая двумерная или трехмерная теория осциллирующих
источников волн приводит к результату
(290), содержащему кривизну кривой волновых чисел, или к результату
(295), выраженному через гауссову кривизну поверхности волновых чисел.
Эти уравнения, однако, бессмысленны для некоторых волновых систем,
содержащих внутренние волны, которые дают название настоящей главе.
Поверхность волновых чисел для внутренних волн с фиксированной частотой
со0 представляет собой конус; поэтому в любой точке одна из главных осей
кривизны направлена вдоль образующей с соответствующей нулевой кривизной.
Следовательно, гауссова кривизна (произведение двух главных кривизн)
всюду равна нулю.
В этом разделе будут показаны существенные изменения теории осциллирующих
источников волн в случае любой волновой системы, где гауссова кривизна
поверхности волновых чисел S тождественно равна нулю; результаты будут
проиллюстрированы примером внутренних волн. Мы отложим, однако, до разд.
4.11 анализ менее радикальных (поскольку они оказываются чисто
локальными) изменений, которые неизбежны в случае, когда гауссова
кривизна обращается в нуль на изолированном участке поверхности волновых
чисел.
29*
452
4. Внутренние волны
Сначала приводятся сравнительно простые результаты, которые справедливы,
когда S является поверхностью наименьшей кривизны, т. е. плоскостью. Эти
результаты иллюстрируются во многих дальнейших разделах. Тем временем
отчасти аналогичные результаты для двумерного распространения в случаях,
когда S является прямой, иллюстрируются здесь на примере внутренних волн,
вынужденных распространяться двумерно в результате того, что они
генерируются источником, который однороден в одном горизонтальном
направлении (скажем, в направлении у). В силу этого в дисперсионном
соотношении (24) 1 = 0, так что кривая волновых чисел (связывающая к ж т
при со = со") становится парой прямых. Для этого случая указываются также
результаты, полученные с учетом вязкого затухания, и проводится их
сравнение с экспериментом.
После этого рассматриваются поверхности S волновых чисел, искривленные
только в одном направлении (развертывающиеся поверхности, которые могут
быть развернуты в плоскость без растяжения). В частности, проводится
детальное исследование для случая конических поверхностей, который
иллюстрируется примером внутренних волн.
В каждом случае мы можем начать с основного уравнения (284) для волн,
появляющихся в определенном направлении L, исходящем от осциллирующего
источника. Это уравнение описывает волны в осях координат, повернутых
таким образом, что L становится положительной осью хр, тогда 5+ является
частью S, определяемой условием (282).
Особым свойством рассматриваемых в этом разделе поверхностей волновых
чисел является отсутствие какой бы то ни было изолированной точки на S +
, где фаза -крсх стационарна. Следовательно, распределение амплитуд волн
