Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
выше методами, требующими оценки бесконечного интеграла. Такая
поверхность с гауссовой кривизной К, всюду равной нулю, обязательно яв-
4.10. Волны, генерируемые осциллирующим источником
461
Е
<w
6xa/Sx*
Рис. 94. Эти диаграммы Томаса и Стивенсона показывают прекрасное
согласование между их измерениями (точки) и их расчетами (кривые). Не
поясняя их обозначений в деталях, отметим, что проверке подлежали
следующие данные: а - огибающая волновых профилей; б - изменение ширины
волны, пропорциональное расстоянию от источника в степени 1/3; в - наклон
центрального луча к вертикали; г - изменение максимальной амплитуды
волны, пропорциональное расстоянию от источника в степени-2/3.
ляется развертывающейся (деформирующейся в плоскость без растяжения), и
нормали к ней образуют только однопараметрическое бесконечное множество
направлений -"веер" лучей, вдоль которых вынуждена распространяться
волновая энергия. Мы укажем общий метод исследования, применяя его для
случая внутренних волн, когда поверхность S является конусом, а нормали к
этому конусу образуют дополнительный конический "веер" лучей.
462
4. Внутренние волны
В стратифицированной жидкости трехмерный осциллирующий источник
dQ/dt = / (х, у, z) ехр (ico0t) (344)
генерирует внутренние волны, удовлетворяющие уравнению (327) с постоянной
N. Это уравнение принимает вид
(N2 - со l)(d2q/dx2 + d2q/dy2) - со ld2qldz2 = •
= гсо0 (dfldz) ехр (ia>Qt). (345)
Любое линейное дифференциальное уравнение в частных производных,
аналогичное уравнению (345), в котором независимая переменная входит
только в производные по координатам одного порядка (здесь 2), имеет
поверхность волновых чисел, которая является "конической" в общем смысле,
т. е. образована прямыми, проходящими через начало координат, и поэтому
имеет нулевую гауссову кривизну; по существу это вытекает из того, что в
силу такого уравнения В представляется однородной функцией к, I я т.
Например, для уравнения (345)
В (со, к, I, т) = [со2пг2 - (N2 - (о2) (к2 + 12)]/(а>т),
(346)
что дает дисперсионное соотношение 5 = 0 вида (24), так что поверхность
со = со0 волновых чисел является конусом с полу-углом раствора 0 = arc
cos (co0/7V).
Для оценки волн, излучаемых в определенном направлении L, мы используем
специальные оси, подобные тем, которые изображены на рис. 91. Прежде
всего мы примем вертикальную плоскость, проходящую через L, за плоскость
у0 = 0; после этого другие оси выбираются, как и ранее: ось х0 - вдоль
образующей конуса, так что она имеет направление волнового вектора, a z0
(конечно, под прямым углом к оси х0) - вдоль луча. Эти оси удобны потому,
что в методе стационарной фазы считается, что только образующая в
вертикальной плоскости, проходящей через L, вносит вклад в излучение
вдоль L, причем этот вклад вносит, как и раньше, вся полупрямая,
представляемая данной образующей.
Уравнение (284) в этом случае принимает вид
q = - 2ni [ехр (ш0()] ^ j F (к0, Z0, т0) (дВ/дт0)~* х
"s+
X ехр [ - i (к0х0 + m0z0)] dk0 dl0\ (347)
отличие от выражения (332) состоит в том, что кривизна конуса не
допускает обращения нг" в нуль, за исключением случая, когда 10 = 0.
Легко показать, что кривизна конуса в плоскости
4.10. Волны, генерируемые осциллирующим источником
46"
k0 - const в точке 10 = 0 представляется как
х0 = -(d2m0/dll) = A;"1 tg 0; (348)
действительно, кривизна кругового поперечного сечения конуса плоскостью т
= const составляет А-1 = (к0 cos 0)-1, и эта величина должна быть равна
произведению cosec 0 на кривизну %0 в плоскости, нормальной к образующей.
Метод стационарной фазы в одномерном случае (разд. 3.7), примененный к
интегрированию по 10 в (347), теперь дает
Гоо
q = - 2ni {ехр {i ^ (o0t + л) J } { F (к0, 0, 0) (2/V)-1 х
о
X (2n/x0z0)~1/2 ехр (- ik0x0) dk0, (349)
поскольку, как и ранее, уравнение (333) дает дВ/дт0 на прямой 10 = т0 =
0. При этом асимптотическая форма волн имеет вид
g = M-i(2n3/(zotg0))1/2|exp[i (co0?-X
Оо
X ^ kl/2F (к0, 0, 0) ехр ( - ik0x0) dk0. (350) о
Уменьшение амплитуды в выражении (350) по закону z-1/2 происходит из-за
того, что энергия распространяется от источника в коническом "веере"
лучей; расстояние между двумя лучами возрастает пропорционально
расстоянию вдоль них. Однако, хотя энергия и распространяется
тангенциально к вееру, ширина пучка по нормали к вееру не увеличивается.
В распределении амплитуд по нормали к вееру лучей появляется интересная
особенность, задаваемая интегралом в (350). Мы уже знаем, что ограничение
области интегрирования до (0, оо) превращает генерируемую осциллирующим
источником стоячую волну в нечто подобное бегущим волнам (рис. 92 и 93).
Новый коэффициент А:1/2 вводит дополнительно операцию, известную как
взятие производной порядка 1/2. Мы встречались с этим фактом в связи с
асимптотическим поведением звуковых волн в случае двумерного их
распространения (разд. 1.4), и, возможно, нам и не следовало бы
удивляться появлению его снова в асимптотической форме решений уравнения
