Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лайтхилл Дж. -> "Волны в жидкостях" -> 190

Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.

Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях — М.: Мир, 1981. — 603 c.
Скачать (прямая ссылка): volnivjitkosytyah1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 184 185 186 187 188 189 < 190 > 191 192 193 194 195 196 .. 242 >> Следующая

в частных производных (345), которое при замене z на величину, кратную
времени, стало бы двумерным волновым уравнением. Однако решение уравнения
(345), удовлетворяющее условию излучения, включает не только производную
порядка 1/2,
464
4. Внутренние волны
Рис. 95. Последовательные волновые профили (действительная часть (353)),
построенные как функции x0/h для последовательных значений ш0t + (1/4) я,
равных 0, (1/4) я, (1/2) я, (3/4) я и я для случая незатухающих
трехмерных внутренних волн, генерируемых осциллирующим источником,
определяемым выражениями (337). В этом случае энергия переносится от
источника вдоль конической поверхности, а гребни движутся по нормалям к
этой конической поверхности.
но и расщепление стоячей волны на волны, распространяющиеся в
противоположных направлениях, а это вполне можно было бы упустить при
любом непосредственном применении только что упомянутой аналогии.
Если ввести распределение источников, проинтегрированное в плоскостях,
нормальных к образующей,
оо
( F (к0, 0, 0) ехр (- ik0x0) dk0 =
- оо
оо оо
= (2я)-2 j [ f(x0, у0, z") dy0 dz0 = fs(x0), (351)
- 00-00
то интеграл в (350) будет пропорционален производной от fs (х0) порядка
1/2. Например, если fs (х0) принимает вид (337), то
ОО
^ kl/2F (к0, 0, 0) ехр ( - ik0x0)dk0 = -^-Cni/2(hJrix0)~3/2, (352)
о
а тогда
q = n*CN-i (2z01g 0Г1/2 (A2 + xl)~3/i X
Xexp jt |^co0?----1- arctg (xjh) (353)
4.11. Каустики
465
На рис. 95 изображены последовательные волновые профили в этом случае для
источника с суммарной напряженностью (2л)3 С.
Мы видели, что даже в трехмерном случае асимптотическая форма внутренних
волн, генерируемых осциллирующим источником, сравнительно проста.
Заметим, что при вынуждающем воздействии типа диполя появились бы
производные от волновых профилей, изображенных на рис. 95; эти
продифференцированные профили волн оказываются только чуть "более
волнистыми". Чтобы учесть обусловленное вязкостью затухание, нужно было
бы, как и ранее, ввести в подинтегральную функцию дополнительный
множитель ехр (-p0&3z0).
4.11. Каустики
На протяжении всего развития понятий групповой скорости и лучевой теории
(начиная с разд. 3.6 и далее) мы до сих пор откладывали исследование
локального поведения волн вблизи каустик. Здесь мы вводим это слово
впервые; каустика представляет собой границу между областью со сложной
волновой картиной, являющейся результатом интерференции двух групп волн,
и соседней областью, не содержащей никаких волн.1* Каустики являются
известными локальными особенностями многих различных конфигураций волн в
жидкостях, причем все они могут быть исследованы вместе, так как ключом к
их пониманию является одно математическое понятие - интеграл Эйри.
Обычная лучевая теория неприменима вблизи каустики, но интеграл Эйри
позволяет нам создать "исцеленный" вариант, в котором эта локальная
трудность преодолевается.
В однородных системах, изучаемых методом стационарной фазы, такая
локальная трудность возникает (разд. 3.7, 4.8 и 4.9) там, где вторая
производная от фазы (или главная вторая производная, когда число
измерений больше, чем одно) обращается в нуль вместе с самим градиентом.
Вблизи такой точки интеграл Эйри играет ту же роль, что и интеграл Гаусса
в обычной точке. В окрестности этих точек лучи сходятся, так как
групповая скорость стационарна. Геометрическое место таких точек
представляет каустику, которая отделяет область без лучей от области,
дважды покрываемой лучами. Однако допущения лучевой теории теряют силу в
окрестности каустики,
х) Возможно, что более общее определение могло бы допустить также наличие
групп волн от различных источников, но даже в этом случае число групп
волн во второй области было бы на две меньше, чем в первой,
30-01100
466
4. Внутренние волны
поскольку локальные градиенты волнового числа становятся большими.
В неоднородных системах, таких, как звуковые волны в стратифицированной
атмосфере или воздушном потоке (разд. 4.6), также возможно, чтобы лучи
сходились, образуя "огибающую", вне которой, согласно лучевой теории,
находится зона тишины. Внутренние волны также обычно имеют каустику с
двумя системами лучей ниже ее и с отсутствием лучей выше ее; это может
быть либо огибающая (рис. 80, б), либо геометрическое место точек
возврата лучей (рис. 80, а). Во всех этих случаях "исцеленный" вариант
лучевой теории может быть получен из свойств интеграла Эйри, на этот раз
из его дифференциальных свойств.
Граница любой области захваченных волн является каустикой. Мы убедимся в
том, что лучевая теория в своем "исцеленном" варианте является удобным и
простым методом приближенного исследования систем захваченных волн.
Прежде всего мы еще раз вернемся к методу стационарной фазы, чтобы
проследить, каким образом развивается ограниченное возмущение в
одномерной волновой системе (разд. 3.7). Мы покажем, как нужно изменить
этот метод вблизи волнового числа к = кс, где групповая скорость U =
Предыдущая << 1 .. 184 185 186 187 188 189 < 190 > 191 192 193 194 195 196 .. 242 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed