Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
при помощи (288) как волны, для которых L является лучом, так как их
групповая скорость ды/дк} имеет направление L. Аналогично, выражение
(290) совместимо с понятием равномерного потока энергии между соседними
лучами, так как (рис. 89) расстояние между ними меняется с расстоянием х
от источника пропорционально х|0)х.
Волны на воде являются частным примером двумерного распространения, когда
кривая волновых чисел представляет собой окружность (с х(0), принимающим
постоянное значение gco"2). Мы, однако, отложим использование их в
качестве иллюстрации до обсуждения корабельных волн в разд. 4.12, где
используется (290) в более общей форме, так как движение источника вносит
существенную анизотропию.
В случае (ii) трехмерного распространения, когда S является поверхностью,
искривленной в двух направлениях, интеграл (284) оценивается простым
обобщением изложенного выше метода. Фаза -кгхх стационарна на S+ в любой
точке (&(°\ 4,("), А1"'), где
дк1/дк2 = 0 и дк11дк3 = 0. (291)
Вблизи такой стационарной точки разложение кг в общем случае включало бы
не только член с (k2 - &1"')2, как в (286), вместе с соответствующим
членом, содержащим (к3 - /с'"1)2, но также и член с перекрестным
произведением (к2 - кl°>) X X (кз - &<">). Однако, как и в разд. 4.8, мы
можем предварительно повернуть оси к2 и к3 (вокруг оси кх) так, чтобы
коэффициент (д2к1/дк2дкзу°'> в перекрестном произведении обратился в
нуль. В таких "главных осях кривизны" для S мы будем иметь
к = к\01 + A (d*kt/dkiy0> (к2 - А^)2 +
+ A (dtkjdkl) (к3 - С)2 + 0(1^- к?' \3). (292)
Тогда асимптотическое представление интеграла (284) распадается на
произведение интегралов по к2 и к3. Его значение дается выражением (287),
в котором вторая строка повторяется еще раз с заменой (d2ki/dkiy0) на
(52Аг1/^А;2)(0).
4.9. Общая теория осииллирующих источников волн
445
S
Рис. 89. Распространение энергии, происходящее между соседними
направлениями нормали к S. а - двумерный случай: два направления нормали
образуют угол x(0>ds, где ds - длина элемента кривой S волновых чисел, а
- кривизна; интервал между ними на больших расстояниях х составляет у.Л>х
ds. б - трехмерный случай: конус нормалей к поверхности S волновых чисел
образует телесный угол | К(0> \ dS, где dS - площадь элемента поверхности
S, а Ю°1 - гауссова кривизна этой поверхности; площадь поперечного
сечения конуса на больших расстояниях х равна, таким образом, | Kd>) \
x2dS.
446
4. Внутренние волны
В инвариантном относительно поворота осей виде условие (291) утверждает,
что /с)0) является точкой S, в которой нормаль п имеет направление L;
согласно условию (282), определяющему S+, это направление нормали должно
быть, как п в (288), тем направлением, в котором со возрастает, превышая
свое значение со0, принимаемое на поверхности волновых чисел. Но здесь
есть и нечто новое, а именно появление произведения
(d^kjdkl)^ (d2kjdkiyv = К<°> (293)
двух главных кривизн поверхности волновых чисел (причем его модуль
возводится в степень -1/2) при указанном выше повторении второй строки
выражения (287). Это произведение К{0> представляет собой известную меру
локальной искривленности поверхности S, известную под названием гауссовой
кривизны, мы отложим до разд. 4.11 рассмотрение тех участков поверхности,
где К(0) = 0. Фазовый член в (287), включающий множитель - i, а также
член с sign и повторяющийся член с sign, становится равным ехр (г(c)), где
0 = 0, или -л/2, или -л в зависимости от того, обращены ли выпуклостью к
L обе линии кривизны поверхности S, или одна из них, или ни одна из них.
(294)
В таких обозначениях выражение
q = F(k[°\ kf, k'?0)) [(дВ/дп)^]-1 (4л2/(|Kw|1/2х)) X
X ехр (j [ay - k\ х} + 0J) (295)
представляет вклад в q от любой точки (&)"', к(%\ к(°}) на поверхности
волновых чисел при выполнении условия (288).
Этот весьма общий результат для трехмерного распространения от источника,
осциллирующего с частотой со0, идентифицирует волны, обнаруживаемые в
направлении L, как волны, для которых L является лучом, так как, согласно
(288), вектор групповой скорости 5соIdkj имеет направление L. Кроме того,
он определяет их амплитуду как произведение фурье-преобразо-вания функции
источника F(k(0)), члена [(дВ/дп)1-0^]-1, зависящего от дисперсионного
соотношения (270), и члена 4л2/1 7?(0) |1/2 х, который обеспечивает
сохранение потока энергии, так как площадь поперечного сечения трубки
лучей, образуемой нормалями к элементарной площадке dS поверхности
волновых чисел, равна | К^0) | х2 ds (рис. 89). Чтобы показать это
подробнее, предположим, как и в разд. 4.8, что плотность энергии для волн
с волновым вектором к можно записать как
W = W0 (k) q2.
(296)
4.9. Общая теория осциллирующих источников волн 447
Тогда (295) дает направленное распределение волновой энергии в виде
TT = TT0(k(°))|F(k(0))|2[(3S/3re)(°)]-2(8n4/(|^(0)|^2))- (297)
Поток энергии составляет I = WV, где U (к(0)) является групповой
скоростью с величиной U = ды/дп, которая принимает значение
