Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
ной плоскости для внутреннего интеграла в формуле (281). Кружками
показаны положения полюсов при е = 0, квадратами - смещенные положения
полюсов при е > 0, когда д&!дк1 > 0, ромбами - смещенные положения
полюсов при е > 0, когда ды!дк1 < 0. При смещении пути интегрирования
вниз член с вычетами дают только полюсы, показанные квадратами.
ОО ОО
- СС - ОО
оо
fcj. (281)
- ос
О
О
-9-
?
?
?
442
4. Внутренние волны
случае после сдвига пути интегрирования вниз при вычислении внутреннего
интеграла в (281) получается член с вычетами. Физически это условие
ограничивает нас волнами, у которых производная Зсо/дкх, т. е.
составляющая скорости распространения энергии вдоль L, направлена наружу
от источника', таким образом, указанное условие исключает возможность
распространения энергии внутрь.
Мы можем теперь положить е ->¦ 0: введение множителя ехр (et) в (280)
выполнило свою функцию, которая состояла в том, чтобы ограничить
возбуждаемые волны решениями дисперсионного соотношения (278),
удовлетворяющими условию распространения энергии наружу. Обозначим через
5+ ту часть S (поверхности или кривой волновых чисел при со = со0), на
которой
доз!дкг > 0. (282)
Тогда внутренний интеграл в (281) будет состоять с точностью .до ошибки
порядка О [ехр (-щх-^] из суммы произведений -2ni на вычет
F (ки кг, к3) [дБ (со0, ки кг, к^1дкг]~х ехр (1кххг) (283)
подинтегральной функции относительно каждого полюса, удовлетворяющего
условию (282), т. е. относительно любой точки на S+ с данными значениями
к2 и к3. Тогда интеграл по к2 и ks можно рассматривать как интеграл по
5+:
ц = -2;й [ехр (гсо0?)] j j F (ки к2, к3) [дВ (со0, ки к2, к3)1дк%\~1 X s+
X ехр (- ik^i) dk2 dk3. (284)
Эта формула дает основное выражение для волн, возбуждаемых в определенном
направлении, идущем наружу от осциллирующего источника, причем оно
получено в осях координат, повернутых таким образом, что это направление
совпадает с положительной осью xt. В оставшейся части настоящего раздела
мы получим дальнейшее приближение для этого выражения при помощи метода
стационарной фазы в двух важных случаях: (i) двумерное распространение,
когда переменная к3 не входит в формулу (284), a S является кривой; (ii)
трехмерное распространение, когда S является поверхностью, искривленной в
двух направлениях (к2 и к3)\ в разд. 4.10 проводится специальный разбор
случаев, когда S либо не имеет кривизны, являясь (iii) плоскостью, либо
имеет кривизну только в одном направлении, являясь (iv) обобщенным
цилиндром или (v) •обобщенным конусом (как в случае внутренних волн). Тем
4.9. Общая теория осциллирующих источников волн
443
временем мы отложим до разд. 4.11 все частные задачи, связанные с
получением оценки вдоль направлений L, являющихся для поверхности S в
некотором смысле исключительными.
В случае (i) двумерного распространения, когда S является кривой в
плоскости (кх, к2), интеграл (284) нетрудно оценить для больших хх при
помощи одномерного метода стационарной фазы, описанного в разд. 3.7. Фаза
-кххх стационарна на S + в любой точке
(к[°>, к(20>), где dkjdk2 = 0. (285)
Вблизи такой стационарной точки (&((r)>, к(">) поверхность S + определяется
уравнением
= с + 4 (d*kjdk\)(0> (к2-к2т)2 + 0(\к2- к'20>!3). (286)
При этом метод разд. 3.7 показывает, что асимптотический вклад в (284) от
каждой такой точки при больших х1 дается выражением
- 2ni [ехр (ico0?)] V (k(0>) [(дВ (со0, k)/??fc1)(°>]_1 ехр (- ik'^'x^ х
X [2л j c72/c1/c/A'2 [с0) ]1/2 ехр ni sign (d2kildk2^i-<i)^ (287)
(рассмотрение случаев, когда кривизна | d2kxldk\ |<0> локально равна
нулю, откладывается до разд. 4.11).
Теперь для удобства нужно представить этот результат в виде, инвариантном
относительно поворота осей; при этом его можно будет непосредственно
применить в задачах генерирования волн без какого-либо предварительного
изменения осей. По отношению к произвольному направлению L условие (285)
для стационарной фазы показывает, что (к(°\ к<°>) является точкой кривой
S волновых чисел, в которой нормаль п имеет направление L. В любой точке
кривой существует два направления нормали, но, согласно условию (282),
определяющему S + , направление L должно быть направлением
нормали пк S, вдоль которой со возрастает, превышая свое значение со0,
принимаемое на S. (288)
С учетом этого определения можно заменить дВ/дкг на дВ!дп. Мы заменим
также | d^kxtdk\ |<0) на кривизну х(0) кривой волновых чисел в точке
(к'°>, к<°>) и обозначим фазовый член в (287) вместе с множителем -I и
последней экспонентой через ехр (г0), где
в = -(1/4) я или -(3/4) я в зависимости от того, обращена ли кривая S
выпуклостью или вогнутостью к L.
(289)
444
4. Внутренние волни
В этих обозначениях выражение
q=P(k[°>, к'^1) [(дВ/дпУ^]"1 (8л3/(х(0)а:))1/2 X
X ехр {i 1 co0i - kf^Xj-P 0]} (290)
представляет вклад в q от любой точки (fc("\ кна кривой волновых чисел
при выполнении условия (288).
Заметим, что волны, обнаруженные вдоль направления L, идентифицируются
