Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
границе волновой области происходит небольшое возрастание амплитуды (от
значения порядка i-1/2 до значения порядка f-1/3) непосредственно перед
ее экспоненциальным спадом до нуля.
Каустика есть нечто подобное "ране" для простой теории лучей, которая
предсказывает возрастание амплитуды до бесконечности на каустике, разрыв
и затем убывание до нуля. Решение в виде интеграла Эйри (375)
"залечивает" эту рану, делая возможным вполне конечный и непрерывный
переход от одного режима к другому.
Даже в однородных одномерных волновых системах каустика не должна быть
сама по себе лучом. Мы показывали на рис. 60, что в случае, когда
начальное возмущение не находится в ограниченной области, лучи в
плоскости (х, t) могут быть непере-секающимися прямыми. Эти прямые могут
иметь криволинейную огибающую, где они сходятся (рис. 98); эта огибающая
и есть каустика с двумя группами лучей с одной стороны и с отсутствием
лучей с другой.
Этот случай можно проанализировать, записывая возмущение в виде (356) с
?ф (к) = fco (к) + g (к) - кх, (378)
так что условие стационарности фазы будет иметь вид
* = g' (к) + "со' (к). (379)
Уравнение (379) описывает систему прямолинейных лучей, такую, что волны с
волновым числом к первоначально находи-
4.11. Каустики
47$
Рис. 98. Каустика С как огибающая прямолинейных лучей х - Ut - =const в
плоскости (х, t) для однородной одномерной системы-волн.
лись при х = g' (к). Каустика определяется уравнениями (359), в силу
которых
х = g' (кс) + ton' (кс) при g" (fec) + to" (кс) = 0.
(380)
Уравнения (380) представляют собой просто параметрические уравнения
огибающей прямых (379); второе из них определяет параметр кс (волновое
число на каустике) как функцию времени. Для такой криволинейной каустики
уравнение (369), в котором ф определяется выражением (378), дает
* ^____________2яР (кс)__________д.________(______g' (fce) - х \
~ {(i/2) g'" (кс) + (1/2) Ш'" (кс)]^3 I [(1/2) g" (fec) + (1/2) fco'"
(7сс)]1/3/
xexp{i [g'W + to (ic)-M} (381)
со свойствами, аналогичными тем, которые обсуждались выше.
Другим непосредственным обобщением одномерной теории является случай
распространения в двух или трех измерениях,, как рассматривалось в разд.
4.8. Подробности достаточно изложить для первоначально ограниченного
возмущения, распространяющегося в двух измерениях.
Задача в таком случае состоит в том, чтобы асимптотически оценить
интеграл
оо оо
Ч - \ j j <№, &2) ехр [г?ф (&1; k2)]dkidk2. (382>
- ОО -ОО
Общая теория стационарной фазы дает такую оценку в виде (262)г однако эта
оценка становится бесконечной там, где якобиан
J = д{иъ иг)!д (къ к2) (383}
обращается в нуль. В теории, где энергия переносится вдоль-лучей,
бесконечность неизбежна; действительно, лучи должнш
-474
4. Внутренние волны
•были бы сходиться там, где J обращается в нуль, потому что объем,
занимаемый энергией в момент t в элементе волновых чисел dk±dk2, в таком
случае равен
| д (Uit, U2t)/d (&!, к2) | dkxdk2 = t2 \ J \ dkxdk2. (384)
Но при этом нарушались бы также предположения теории лучей (медленное
изменение к). Интеграл Эйри еще раз "залечивает рану".
Как и в разд. 3.8, мы оценим (382), используя локальные оси, в которых
тензор
d2ty/dkidkj = d^a/dkidkj (385)
имеет только диагональные элементы. Теперь в любой точке каустики (кJ,
kf) один из этих диагональных элементов должен быть сам равен нулю,
поскольку детерминант J этого тензора обращается в нуль; мы предположим,
что только один из них равен нулю, и пронумеруем оси таким образом, чтобы
это был элемент <92со!дк\. Вблизи (Щ, kQ мы представим интеграл (382) как
произведение
q= j ехр ji? [(/ct - ki) (д^/дк^0 + ~ (кх~ kl)3 (d^/d/Cj)0]} dkt x
X y Qo(ku *2) {exp [Щ(к\, k%}} j exp[~i-i (k2-k\)2 (d2^/dkl)c j dkz,
(386)
где первая строка оценивает интеграл по кх в форме интеграла Эйри, а во
вторую строку включаются все остальные множители, в том числе и интеграл
Гаусса по к2. Результатом является произведение члена с интегралом Эйри и
обычного выражения теории стационарной фазы:
¦" = г ,2"ЛК %Т, Ai{Г(а-М-)С-^}"РВ-х)! х
"г 2я 11/2 Г 1 • • / а2ш \с j .
х L * 1 1 J ехР[тт^п(-жг) J- (38/)
(Здесь, так же как в разд. 4.8, следует взять действительную часть, так
как в (386) был изъят множитель 1/2 и опущен комплексно сопряженный член
с (-к\, -Щ вместо (/cj, Щ). В трехмерном случае нужно повторить вторую
строку с к3 вместо кг.)
Выражение (387) можно применить к волнам, которые генерируются брошенным
в пруд камнем. Круговая спокойная область в центре расширяется с
минимальной групповой ско-
4.11. Каустики
475
-----------------------^^АЛЛДДДДДДДлг-члЛЛДЛ'-^чАДЛ/4
с
Рпс. 99. Волновая картина по истечении достаточно большого времени t
после того, как в пруд был брошен камень. Точка С находится на расстоянии
Uct от центра возмущения, где Uc - минимальная групповая скорость, равная
0,18 м/с. Амплитуда волн затухает экспоненциально за точкой С, но
пульсирует перед С. Гребни волн движутся со скоростью, на 58%
