Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
U = -(дВ/дп)/(дВ/ди) (298)
для дисперсионного соотношения (270). Выходную мощность источника можно
получить из (297), умножив величину этого потока энергии на площадь
поперечного сечения | К(0) \х2 dS трубки лучей, соответствующей элементу
dS поверхности волновых чисел, и проинтегрировав по S, что дает
Р = 8л4 ^ j UW0\(k)\F (k)\* {дВ1дп)-°~ dS (299)
"s
(индекс (0), используемый для обозначения точки на S с нормалью п в
определенном направлении L, здесь опущен). С учетом (298) эквивалентное
выражение для выходной мощности Р, не требующее вычисления нормальной
производной, принимает вид
Р = 8л4 j j W0 (к) | F (k)!2 U~l (дВ/дсо)"2 dS. (300)
Звуковые волны дают простую иллюстрацию этих результатов. Уравнение
d2p/dt2 - с\д2p/dxj = / (ж15 хг, xs) ехр (i(oat) (301)
описывает генерирование звука некоторым распределением осциллирующих
источников (см. разд. 1.10, где правая часть этого уравнения записана как
напряженность источника на единицу объема dQldt). В этом случае
В = -со2 + с\Щ, U = с0, W = eft'1 (302)
и поверхность S является сферой (с центром в начале координат) радиуса
со0/с0. Тогда формула (300) для выходной мощности принимает вид
Р = 8л5(р0с0)-1(|^(к) |2>s, (303)
где величина
<|^(k)(2>s = (4тгсо^/<)-1 J j |У(к)|2^ (304)
'в
представляет собой значение | F |2, осредненное по сферической
поверхности S радиуса а01с0.
448
4. Внутренние волны
Распределение источников является акустически компактным, если они
сосредоточены в области, линейные размеры которой малы по сравнению с
с0/со0. Поэтому фурье-преобразование F (к) этого распределения будет
определено в такой области пространства волновых чисел, размеры которой
весьма велики по сравнению с со0/со- Тогда осредненное значение в
выражении (304), как правило, близко к значению | F (0) |2 в центре
сферы:
- суммарная напряженность источников. Тогда выражение (303) принимает вид
в точности совпадающий с тем, который можно было бы получить при помощи
метода разд. 1.6 (при этом и числитель является средним квадратом
суммарной напряженности источников).
С другой стороны, в случае распределения с нулевой суммарной
напряженностью источников в выражении F (к) при малых Тг преобладает член
является напряженностью эквивалентного диполя (моментом распределения
источников). Это означает, что
точно совпадающему с тем, которое можно было бы получить при помощи
метода разд. 1.7 для областей компактных источников с дальними полями
диполей.
Для волновых систем совершенно общего вида распределение источников также
называется компактным, если F (к) определено в такой области пространства
волновых чисел, размеры
<| F (к) |2) " | F (0)|2 = (2л)-б| /tot|2, (305)
где
ос оо оо
(306)
- ОС - ОО - оо
P = l/tot!2/(4JWo),
(307)
F (к) да ikfij (2л)_3, где Gj =
ОО ОО оо
- ОО -ОО -оо
<|F(k)|2)s^i-(co0/c0)2|^!2(2H)-6,
(309)
так что (303) сводится к выражению
Р = ^-|^.|2ю§/(12лроСо3),
(310)
4.9. Общая теория осциллирующих источников волн
449
которой весьма велики по сравнению с размерами поверхности S волновых
чисел. Тогда уравнения (305) и (306) выполняются на S при условии, что
суммарная напряженность источников /tot не равна нулю, а выходная
мощность (300) имеет величину
(8л2)-1 d/toti2) {j w0(k)u-4dB/d^dS, (311)
пропорциональную среднему квадрату этой суммарной напряженности
источников. Интеграл в (311) представляет собой коэффициент, который для
каждой волновой системы нужно оценить только один раз: он не зависит от
распределения источников и меняется только в зависимости от частоты <в0.
Соответствующая формула для случая, когда /tot равна нулю, но
напряженность эквивалентного диполя (308) отлична от нуля, имеет вид
Р = (8л2)-1 \g}\ \ kjW0 (k) U~l (дВ/дсо)"2 dS 2 ; (312)
на этот раз интеграл является вектором, который для изучаемой волновой
системы можно раз и навсегда вычислить как функцию (0 о-
Для звуковых волн, генерируемых некомпактными распределениями источников,
среднее значение в (303) может значительно отличаться от таких простых
оценок. К тому же направ ленное распределение акустической интенсивности
I = Wc-может быть сложным; так, ее значение в направлении L, которое
задается единичным вектором п, дается выражением (297), где
к<°> = оо0сДп (313)
является точкой на S с нормалью п в направлении возрастания со. С учетом
(302) это выражение принимает вид
I = 2л4 (р0с0)-%-2 | F (юосДп)!2. (314)
Для получения искомого направленного распределения (314) обычно
достаточно, как описывалось в разд. 1.12, плоского распределения
источников, так как его изменение может соответствовать существенно
двумерному изменению относительно единичного вектора п. В самом деле,
любое действительно плоское распределение источников, если иметь в виду
такое, размеры которого компактны только в одном направлении (скажем, в
направлении хД, удовлетворяет на S приближенному уравнению
F (k) " F (0, к2, к3) = (2л)(fc" ks), (315)
29-01100
450
4. Внутренние волны
Рис. 90. Поверхность постоянной фазы является геометрическим местом
