Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
и тогда получаем, что асимптотическое представление ? имеет вид
? ~ 2nF (&с) {ехр [Чф(А:с)]} (fcc)j 1/3 Ai (А). (369)
Проведенный выше вывод относился к рис. 96, показывающему форму L для ф'"
(кс) > 0, однако полученное заключение справедливо также и для ф'" (кс)
<; 0, когда контур L на рис. 96, а заменяется его зеркальным изображением
относительно действительной оси. Кубический корень в (364) нужно при этом
взять отрицательным, так что в плоскости s путь интегрирования вернется к
кривой, идущей от оо ехр ((5/6) яг) к оо ехр ((1/6) яг) и использованной
в (368).
Интеграл Эйри (368) легко вычисляется, и результаты приведены на рис. 97.
Характер этого графика можно объяснять
470
4. Внутренние волны.
Рис. 97. Сплошная кривая - интеграл Эйри Ai (X). Штриховая кривая - его
асимптотические формы (373) для X > 0 и (374) для X < 0.
при помощи теории стационарной фазы. Когда X принимает большое
положительное значение, фаза sX + (1/3) s3 не имеет никакой стационарной
точки около действительной оси, так что интеграл становится
экспоненциально малым, соответствуя, как мы увидим, стороне каустики без
волн. Когда X принимает большое отрицательное значение, существуют две
далеко отстоящие друг от друга стационарные точки при действительных s,
принимающих значения
S = +|X|*/* и S = - I X р/2; (370)
в этих точках вторая производная от фазы, равная 2s, соответственно
положительна и отрицательна. В данном случае естественно попытаться
оценить интеграл Эйри как сумму двух интегралов Гаусса посредством
деформации пути интегрирования (отчасти как на рис. 63) в кривую,
проходящую через эти точки под углом +45° и -45° к действительной оси
(рис. 96). Эта оценка для X < 0 дает выражение
Ai (А) ~ (2я)"' {ехр[ - Af | х |3/2 + -J- m ] } |[:2л/(2 j1 А |1/2)]1/2 +
+ (2л)-1 {ехр [ + 4* I *\3/2-^-м]}[2я1(2\Х | 1/2)]1/2, (371)
содержащее два различных члена, имеющих волновой характер. Они модулируют
ехр titty (&с)] в (369), соответствуя, как мы увидим, двум группам волн
на стороне каустики с А < 0.
Действительно, для больших положительных А путь интегрирования можно
подобным же образом деформировать (рис. 96) так, чтобы он прошел через
мнимое положение стационарной
4.11. Каустики
471
фазы s = -f-iX1/2, где подинтегральное выражение принимает значение ехр
(-(2/3) X3/2), а фаза имеет вторую производную 2гХ1/г. Траектория
наискорейшего спуска через эту точку параллельна действительной оси и
позволяет оценить Ai (X) как интеграл Гаусса
(2л)-1 j^exp ^ Х3/2 j J j ехр [- Х1/2 (s-jX1/2)2] ds.
(372)
Графики выражения (372) для больших положительных X, легко оцениваемого
как
Ai(X) ~ -ln-i/2X-1/4 ехр ( -§- X3'2) при Х>0, (373)
и выражения, представленного формулой (371), для больших отрицательных X,
а именно выражения
Ai(X) ~ л-1/2 | X Г174 cos (-J- | X |3/2 -|- " ) ПРИ *<0.
также изображены на рис. 97. Проведенные на нем штриховые кривые
показывают, что интеграл Эйри быстро и плавно переходит от своей
волнообразной асимптотической формы (374) для отрицательных X к
экспоненциально убывающей асимптотической форме (373) для положительных
X.
Когда ф (к) имеет вид (357), соотношения (365) и (369) дают
X exp{i [со (Ас) i - А;сж]}. (375)
Уравнение (375) показывает, насколько велики волны на той стороне
каустики, где
х - ta>'(kc) имеет тот же знак, что и со "'(кс); (376)
там находятся две группы волн, так как функция Эйри для отрицательных X
содержит сумму двух экспонент (371). Эти две группы волн с близким
волновым числом "пульсируют" вместе; на рис. 97, показывающем медленное
изменение их амплитуды, действительно видно, что впервые она обращается в
нуль при X = -2,34.
Мы видим (рис. 97 для положительных X), что на другой стороне каустики
амплитуда волны убывает экспоненциально и составляет всего лишь 3 % ее
максимального значения уже на расстоянии
(374)
\х-Ш' (кс) | = 2,5 ] 1 Ш'" (kc)\i/3 (377)
472
4. Внутренние волны
от каустики. Этот интервал затухания постепенно возрастает со временем,
но становится все более и более несущественной частью всей протяженности
группы волн, которая растет пропорционально самому t.
Общая теория (разд. 3.7) стационарной фазы в одномерном случае дает
затухание амплитуды по закону t~l№ по мере рассеивания энергии, однако
неприменимость этой теории вблизи каустики очевидна из-за множителя при
i-1/2, равного | со "(к) |-1/2 и неограниченно возрастающего при
приближении к каустике. Истинная амплитуда на самой каустике ни в коем
случае не может быть бесконечной, так как Ai (0) имеет конечное значение
0,355. Однако эта амплитуда действительно затухает более медленно, чем ?-
1'2: согласно (369), она затухает пропорционально t~i/3.
В самом деле, уравнение (365) показывает, что для фиксированного xlt,
удовлетворяющего условию (376) наличия волн, ? асимптотически
возвращается к виду, содержащему Г1/2, поскольку | X |-1/4 в (374)
затухает со временем пропорционально t-1/6. В этом случае на каустической
