Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
~ oo
Физически это соответствует расщеплению стоячей волны
fs (Zo) ехр (m0t)
на сумму двух бегущих волн, движущихся в направлениях положительных и
отрицательных х0 соответственно. Стратифицированная среда получает
проинтегрированное распределение источ-
458
4. Внутренние волны
Рис. 92. Последовательные волновые профили (действительная часть
выражения (338) или (339)), построенные как функции x0/h для
последовательных значений ш0г, равных 0, (1/4) л, (1/2) л, (3/4) лил для
случая незатухающих плоских внутренних волн, генерируемых осциллирующим
источником, определяемым выражениями (337). Гребни, конечно, движутся
перпендикулярно к направлению z0, вдоль которого распространяется
волновая энергия.
ников (335), расщепляет его, как в (336), и посылает волны с амплитудой
fs (ж0) по диагонали вверх и направо, а волны с амплитудой fs (х0) - по
диагонали вниз и налево.
Для любой рациональной функции fs (х0) расщепление (336) достигается
наиболее просто посредством представления ее в виде элементарных дробей и
включения тех из них, которые содержат полюсы в верхней половине
комплексной плоскости х0, в fs, а остальных - в fs- Например,
если fs (х0) = 2Ch {х\ + fe2)"1, то fs (х0) = С {h + кг0)-\
(337)
что читатель может проверить при помощи правила разложения на
элементарные дроби или же непосредственным вычислением, используя F (&0>
0) = С ехр (-А/с0). В этом случае волны (334) можно представить в виде
q = -ш/V-1 [ехр (ш0?)] С (h + й0)-1 (338)
или же - через модуль и аргумент - в виде q = nCN~l (/г2 + Яр)~1/2 ехр (i
j^co0?- arctgj(a:0//j)-> (339)
который подчеркивает волноподобную зависимость от х0, хотя и указывает на
отсутствие какой бы то ни было сформировавшейся длины волны. На рис. 92
представлен вид последователь-
4.10. Волны, генерируемые осциллирующим источником
459
ных конфигураций волн в этом случае. При отсутствии диссипации энергии
эта картина волнового движения под прямым углом к лучам распространялась
бы вдоль лучей до бесконечности и без затухания.
Однако в проведенный выше анализ нетрудно включить эффекты вязкого
затухания со скоростью (220) на единицу пути z0 вдоль лучей. Эту скорость
можно записать в виде
Р = 2|30&;|, где po = -l-viV_1 cosec 0, (340)
причем k0, как и выше, представляет собой модуль волнового вектора. Такая
скорость затухания энергии вводит в амплитуду волн с волновым числом к0
экспоненциальный множитель ехр (- p0A(r)z0). Это должно быть включено в
интеграл (332) и, следовательно, в (334), что дает
оо
q= -niN~l [ехр (ico0?)] ^ F (к0, 0) ехр (-ik0x0 - ^0k30z0) dk0.
(341)
Заметим, что для незатухающих волн общее понятие (разд. 4.9) компактных
источников (размеры области определения фурье-преобразования которых в
пространстве волновых чисел много больше размеров S) бессмысленно, когда
S простирается до бесконечности, как во всех волновых системах, изучаемых
в этом разделе. Однако смысл этого понятия восстанавливается при введении
вязкого затухания, которое для внутренних волн на расстояниях от
источника, больших z0, исключает все волновые числа, значительно
превосходящие (Ро2о)_1/3; тогда источники, размеры области определения
фурье-преобразования которых намного превышают это число, будут
действительно компактными.
Если, например, сечение цилиндрического провода, колеблющегося
горизонтально в жидкости, компактно в этом смысле, то его можно
представить горизонтальным диполем с напряженностью G ехр (i(o0t), равной
отнесенной к единице длины силе, с которой он действует на жидкость. Это
дает
F (к, т) " ikG, (342)
как и в (308), так что значение F (к0, 0) в повернутых осях волновых
чисел (к0, т0) равно i (к0 cos 0) G и
оо
q = (л/V-1 cos 0) G [exp (jco0?)] j A:0exp( - ik0x0 - §Qk\z0) dk0. (343)
о
460
4. Внутренние волны
Рис. 93. Последовательные волновые профили (действительная часть
выражения (343)), рассчитанные Томасом и Стивенсоном для последовательных
значений co0t, равных -(1/2) я. -(1/4) я, 0, (1/4) л и (1/2) л для случая
двумерных внутренних волн, возбужденных компактным осциллирующим
источником и затухающих вследствие вязкости.
На рис. 93 представлен вид последовательных волновых профилей в этом
случае, полученных на основании формулы (343) Томасом и Стивенсоном, а на
рис. 94 приведены весьма удовлетворительные результаты сравнения
полученных этими авторами теоретических данных с их тонкими
экспериментальными наблюдениями.
Волновые системы с поверхностью S, имеющей отличную от нуля полную
кривизну, исследованные в разд. 4.9 методом стационарной фазы, и
описанные выше системы, для которых метод стационарной фазы непригоден,
потому что S является плоскостью, представляют собой крайние случаи.
Существует также и промежуточный случай, когда S является
развертывающейся поверхностью. В этом случае имеется только одно главное
направление с ненулевой кривизной, в котором можно использовать метод
стационарной фазы, а в другом направлении следует пользоваться описанными
