Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
daldk стационарна, т. е. там, где
и\кс) = со"(&с) = 0, (354)
что происходит с волнами на воде при минимуме их групповой скорости (рис.
56).
Траектория
xlt = U(ke) (355)
распространения волн с волновым числом кс является каустикой, так как
значения U по одну сторону от этого стационарного значения U (кс)
соответствуют двум волновым числам к, а по другую сторону не
соответствуют ни одному.
Как и в разд. 3.7, мы исследуем асимптотическое поведение
ОО
?= j F (к) ехр [гбф (/с)] dk, (356)
о
где
ф (к) - со (к) - kxlt, (357)
обращая особое внимание на те значения к, где фаза tip {к) имеет
первую производную, равную нулю, т. е. где
¦xlt = со'(й:) = U (к). (358)
Метод, подробно описанный в разд. 3.7, нельзя использовать
при к = кс, где, согласно (354) и (357), равна нулю также и вто-
4.11. Каустики
467
рая производная от о[ь Этот метод должен давать плохое приближение даже
вблизи к = кс, где производная о[)" (к) мала, так что ее вклад в
разложение о|з в ряд Тейлора не должен превосходить соответствующий вклад
от ар"'(&).
Тем не менее можно воспользоваться идеей метода, развитого в разд. 3.7.
Вдали от стационарной точки мы деформируем путь интегрирования в такой,
на котором мнимая часть ор равна по меньшей мере +6. Однако вблизи
ртационарной точки (где это невозможно) строится короткое связующее звено
L, на котором для оценки асимптотического значения интеграла применяется
разложение в ряд Тейлора.
При условии (355) уравнения (357) и (354) дают
ор'(&с) = 0 и ар" (кс) = 0. (359)
Тогда контуры, на которых мнимая часть ар равна +6, принимают вид кривых,
изображенных на рис. 96, а, при
Г (к с) = (0"'(кс) > 0, (360)
и являются их зеркальными изображениями, если а'"(кс) отрицательно. (Мы
опускаем рассмотрение нестандартного случая, когда оз"'(кс) обращается в
нуль.) За звено L лучше всего принять "траекторию наискорейшего спуска"
ехр Uiop (&)] от к = кс к указанным контурам. Эта траектория представляет
собой пару прямолинейных отрезков, каждый из которых наклонен под углом
30° к действительной оси, поскольку (359) дает
т|) (к) = ар (кс) + (к - кс)3 ар'" (кс) +0 (к- Ас)4, (361)
а (к - кс)3 чисто мнимо, когда arg (к - кс) равен либо (1/6) л, либо
(5/6) л.
Мы используем то же самое звено L во всей окрестности каустики, т. е.
там, где (355) почти (но не точно) удовлетворяется. Тогда ар (к) включает
линейный член
(к ~ кс) о|/(&с) - (к - кс) [со'(кс) - x/t], (362)
который является значительной добавкой в непосредственной близости к к ~
кс. Однако при малых значениях коэффициента, стоящего в квадратных
скобках, на концах L в (361) должен доминировать кубический член. Поэтому
звено L остается эффективным при увеличении мнимой части ар до +6. А
тогда с точностью до ошибки О [ехр (-tS)] интеграл (356) может быть взят
как интеграл по звену L, что дает
?= ( [F (кс)+0(| к - кс |)] ехр {i* [ap(fcc) + (fc-кс) op' (кс) +
L
+ -g- (А - &с)3 ор"' (кс) + 0(1 A-&c|*)]}d&. (363)
30*
468
4. Внутренние волны
•к? +(У
+ $ +сГ
а
Рис. 96. а - типичное поведение (вблизи любой стационарной точки кс
фазовой функции ф (к), где ф" (кс) = 0, а ф"' (кс) > 0) кривых в
комплексной плоскости, вдоль которых ф (к) имеет постоянную мнимую часть
+6. Мы преобразуем путь интегрирования в интеграле (356) в такой, на
котором мнимая часть ф (к) равна +6, за исключением окрестности кс, где
для перехода с одного такого пути на другой используется звено L; б -
комплексная плоскость s, определяемая заменой (364): (1) -
соответствующий L путь интегрирования, используемый для вычисления
интеграла Эйри Ai (X); (ii) - преобразованный путь интегрирования,
используемый для получения асимптотического выражения (371) интеграла Ai
(X) при больших отрицательных X; (iii) - преобразованный путь
интегрирования, используемый для получения асимптотической формы (373)
интеграла Ai (X) для больших положительных X.
4.11. Каустики
469
Чтобы оценить (363), нам нужен не интеграл Гаусса с экспонентой от
квадратичного выражения, а другой стандартный интеграл - интеграл Эйри с
экспонентой от суммы линейного и кубического членов. При помощи
подстановки
к - кс = tx|У" (кс) j 1/3 s, (364)
которая упрощает кубический член до (1/3) is3,а затем замены
Х = [^Щ"' {kc)JUi (кс), (365)
которая приводит линейный член к is X, интеграл (363) можно привести к
стандартной форме
? = F(kc) {ехр [Пф (fcc)]} х
X f -у ?ф" (кс) j 1/3 j ехр [г (sXs3 ) j ds (366)
с коэффициентом погрешности 1+0 (?-1/3), так как (364) дает
О (| к - кс |) = О (t | к - кс |4) = О {t-Ч3). (367)
Интеграл в (366) берется по криволинейному пути в плоскости s,
соответствующему L в плоскости к. На концах этого пути модуль
подинтегрального выражения убывает до О [ехр (-ffi)]. Поэтому интеграл
отличается от того же самого интеграла, взятого по всему пути до
бесконечности, на величину только этого порядка. Мы определяем
оо ехр ((1/6) яг)
Ai (X) = (2я)-1 j' ехр ?г [sX + -|-s3) j ds (368)
со exp ((5/6) яг)
