Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Вся теория, необходимая для оценки волн (422), содержится в предыдущих
трех разделах. Чтобы представить интеграл
(269) в виде (422), нам нужно только
заменить 5((о0,к) выражением В((и0 - kjVj, к) = 5г(со0, к)
(426)
и в то же самое время
заменить Xj выражением Xj -f Vj t - Xj (427)
(координатой относительно источника). Следовательно, для оценки (422) мы
можем применять любую часть общей теории, просто осуществив всюду
указанные замены.
з 1*
484
4. Внутренние волны
В частности, подстановка (426) заменяет уравнение (278) для поверхности
(или кривой) волновых чисел уравнением
(425). Даже для волн, изотропных относительно жидкости, уравнение (425)
становится анизотропным за счет движения источника. Поэтому для оценки
волн, генерируемых движущимися источниками, и в случае изотропных систем
требуется общая теория в том виде, который дан в этой главе (теория для
анизотропных волн).
Значительно раньше мы показали (разд. 3.9), что нужно проявлять
осторожность, чтобы правильно применить условие излучения для движущихся
вынуждающих воздействий. В общей теории осциллирующих источников условие
излучения располагает волны с волновым числом к вдоль направления п
нормали к S, выбирая из двух направлений нормали то, вдоль которого со
возрастает выше (о0. Чтобы выразить этот факт, для удобства обозначим
поверхность (425) волновых чисел для источников с частотой (о0 через S
(со0); тогда волны будут обнаружены вдоль той нормали п к S (о)о)>
которая идет в направлении S (со0 4- б) при б >0.
Приведенное выше правило допускает простую физическую интерпретацию.
Согласно (421), это направление нормали п является направлением вектора
градиента
d(ii0/dkj = Vj 4~ d(or/dkj - Vj Uj, (428)
где Uj - групповая скорость относительно жидкости. Однако замена (427)
означает, что положение волн описывается относительно источника', вектор
(428), очевидно, представляет скорость распространения их энергии в
указанной системе отсчета.
Двумерные волны, генерируемые движущимися вынуждающими воздействиями,
должны принимать асимптотическую форму, определяемую условиями (288),
(289) и (290) после замен
(426) и (427). Таким образом, для произвольно выбранного направления L
они включают дополнительные члены
q=F (k\°\ k(20}) [(дВг/дп)^)-1 (8яЗ/(к(0)Х))1/2 х
X ехр [i (со0? - 4-0)] (429)
от любых точек (&'"', /с'°') на кривой S (со0) волновых чисел, где
нормаль п, направленная в сторону *5(со0 4- б), имеет направление L.
Однако вблизи точки перегиба кривой S (со0) вместо этого нужно
использовать аналогично видоизмененный вариант выражения (394).
Мы можем легко получить мощность необходимую,
чтобы генерировать волны в этом случае (для нахождения аналогичного
выражения в трехмерном случае см. (299) или (300)).
4.12. Генерирование волн движущимися воздействиями 485
Если для распространяющихся двумерно волн с волновым числом к энергия на
единицу площади составляет
П7 = 1Е0(к)^, (430)
то для каждого к'0>, удовлетворяющего условию (288), направ-
ленное распределение волновой энергии, согласно (429), дается выражением
W = W0 (к(0)) I F (к(0)) |2[(<9Бг/дя)(0)Г2(4лЗ/(к(°)М)). (431)
Поток энергии относительно источника через единицу расстояния в
поперечном направлении за единицу времени равен при этом
I = W (V + U); (432)
здесь вектор V+U, согласно (428), имеет направление п вдоль
прямолинейного луча, идущего от источника. На расстоянии X от источника
поперечное расстояние между лучами от элемента кривой волновых чисел,
имеющего длину ds, составляет х(0)Х ds. Поэтому суммарную выходную
мощность можно представить в виде интеграла по всей кривой S волновых
чисел от произведения величины I на это поперечное расстояние. Если
отбросить индекс (0), то этот интеграл примет вид
Pw = 4л3 ^ W0 (k) |E(k)|2|V+ U| (дВТ/дп)-* ds. (433) s
Здесь модуль вектора V -f U можно записать в виде
| V + U | = - (дВТ1дп)/(дВг/д(й), (434)
поскольку, согласно (428), он представляет собой скорость изменения юц в
направлении п при условии, что Вг (со", к) остается равным нулю.
Соотношение (434) приводит к выражению для Рж, в точности аналогичному
выражению (300). С другой стороны, оно приводит к часто используемой
форме
Pw = An3 ^ W0(k) ] F (к) |2 | дВт/да) |-1 j dBT/dn |_1c?s. (435) s'
При расчете мы можем использовать здесь тождества
| дВт1дп |-1ds =| дВт/.дк |_1 |dZj'= | дВт1д1 |_1 | dk | на S.
(436)
(Например если нормаль п образует с осью х острый угол Ф, то величина |
дВх1дк | равна | дВт/дп ] cos Ф, а на S мы имеем | 81 | = ds cos Ф.)
486
4. Внутренние волны
Поскольку приведенные выражения для передаваемой волнам мощности Pw не
содержат явно кривизны кривой 5, по-динтегральная функция не принимает
бесконечного значения ни в одной точке перегиба кривой S. Следовательно,
весьма локальное изменение, производимое выражением (394) вблизи каустики
(луча из точки перегиба), оказывает несущественное влияние на выходную
мощность; его роль состоит только в ограничении локальной амплитуды на