Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
теперь уже не пропорционально (как в разд. 4.9) значению
пространственного фурье-преобразования F (к) распределения источников. Мы
убедимся в том, что вместо этого оно зависит от частичного преобразования
Фурье, когда на распределение источников действуют в различных
ортогональных направлениях либо оператором преобразования Фурье, либо
каким-нибудь иным опера-лором.
В случаях когда S+ является плоскостью, напрашивается использование
специальных осей (х, у, z), скажем, с осью х, перпендикулярной этой
плоскости. При этом для соответствующего волнового вектора (к, I, т)
выполняется условие к = const да этой плоскости.
Рассмотрим, например, случай, когда
В = В (со, к)
(320)
4.10. Волны, генерируемые осциллирующим источником
453
не зависит от I и т. Это сравнительно простой случай, когда в
дифференциальное уравнение (276) для вынужденных коле-баний не входят
никакие частные производные поуиг. Поверхность S волновых чисел состоит
из множества плоскостей к - = к0, где
В(щ, к0)=0. (321)
Для излучения в направлениях L, соответствующих возрастанию х, условие
(282) определяет S + как подмножество плоскостей, таких, что уравнение
(321) определяет функцию со0 (к0), для которой
d("0/dk0 > 0. (322)
В этих обозначениях интеграл (284) по любой плоскости к = к0, которая
представляет часть (или всю) S + , можно записать в виде
оо оо
- 2ni [ехр (ico0?)] J ( F (к0, I, т) [дБ (со0, k)/dk\ 'kUtX
- оо -оо
X ехр [ - i (к0х + 1у + mz)] dl dm. (323)
Здесь мы уже вернулись от специальных осей координат, в которых
направление L совпадает с осью хг, к фиксированным осям (х, у, z) с осью
х, перпендикулярной плоскости к = к0. Если угол между L и этой осью х
равен Ф, то dkzdks на S + становится равным dl dm cos Ф, но при этом
также и дВ/дк1 становится равным (дВ/дк) cos Ф и два множителя cos Ф
сокращаются. С другой стороны, (323) можно было бы получить
непосредственно в осях (х, у, z), применяя метод разд. 4.9 при условии
излучения, которое запрещает распространение энергии в направлении
убывающих х там, где х положительно.
Очевидно, интегрирование по Z и т в (233) "разлагает на составные части"
преобразование Фурье, т. е. оно восстанавливает в распределении
источников первоначальную функциональную зависимость от у и z, оставляя
только частичное преобразование Фурье по х. Это следует из того, что
уравнение (268) можно записать в виде
Со
f(x, у, z)= j F(x)(k, у, z) ехр (- ikx) dk, (324)
- со
где частичное фурье-преобразование Е(ж) равно
СО С"
F(x) {к, у, z)= \ \ F (к, I, т) ехр [ - i (ly -\-mz)\dl dm. (325)
454
4. Внутренние волны
Излучение (323) в направлении возрастающих х дается тогда выражением
q = - 2niF(x) (к, у, г){дВ(щ, A)/3A]*LAo ехр [г (со0* - к0х)}, (326)
если существует только одно волновое число к0, удовлетворяющее (321) и
(322); в противном случае излучение дается суммой выражений (326) от
каждого такого волнового числа.
Уравнение (326) описывает строго параллельный пучок, так как частичное
фурье-преобразование F(x) (к, у, г), определяемое формулой (324), равно
нулю для любых у и z, так что распределение источников / (х, у, z) равно
нулю для всех х. Этот пучок является просто проекцией области источников
в направлении х. Так как площадь его поперечного сечения не зависит от х,
амплитуда волн также остается постоянной.
Отметим различие между таким строго параллельным пучком, который
получается из-за того, что поверхность волновых чисел является
плоскостью, и акустическим пучком, генерируемым плоским распределением
источников (разд. 1.12 и 4.9); последний сначала параллелен, но всегда
расходится на конус (как бы ни был мал угол раствора конуса), когда
распределение переходит из первоначальной функциональной зависимости от у
и z к ее преобразованию Фурье. Такое преобразование Фурье по у и z, т. е.
переход к коническому пучку, не может иметь места в том случае, когда
поверхность волновых чисел сама является плоскостью.
Другой способ получения (326) в случае, когда уравнение в частных
производных (276) не содержит производной по у или по z, основывался бы
на решении его как одномерной задачи для каждой постоянной пары значений
у и z. Этот вывод мог бы быть самым коротким, однако здесь мы предпочли
показать, каким образом этот результат можно получить как предельно
частный случай нашего общего исследования, которое удачно включает
обсуждение промежуточных частных случаев, подобных случаю вынужденных
внутренних волн.
Распределение источников генерирует внутренние волны согласно уравнению
V2 (d2qldt2) + [N (z)]2 (d2qldx2 + d2q!dy2) = d3Q/dt2dz, (327)
где dQ/dt (скорость изменения массового расхода на единицу объема на
выходе) представляет напряженность источника в в смысле гл. 1. Уравнение
(327) получено в результате добавления массового расхода на выходе к
правой части уравнения (17) и замены, таким образом, правых частей (18),
(20) и (22) на -dQ/dt, на -\-d2Q/dtdz и на d3Q/dt2dz. Здесь мы
рассматриваем
