Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
самой форме решения в виде интеграла Фурье (269), если такое уравнение
можно записать в виде
где В (со, ки /с2, к3) является полиномом (или в более общем случае
отношением полиномов) от четырех переменных. Тогда свободные колебания
удовлетворяют дифференциальному уравнению (276) с нулевой правой частью,
так что любое решение вида плоской волны
удовлетворяет дисперсионному соотношению (270). Однако в общем случае,
когда в правую часть уравнения (276) в качестве вынуждающей функции
входит член источника, определяемый выражениями (267) и (268), решение
можно записать в виде (269).
При попытке вычислить (269) или (275) мы встречаемся с той же самой
"очень важной и известной трудностью", которая была описана в конце разд.
3.9: при интегрировании по действительным переменным kj встречаются
полюсы всюду, где
Мы рассматриваем это уравнение (дисперсионное соотношение для ев = со0)
как уравнение, определяющее поверхность S волновых чисел для частоты св0
(поверхность в пространстве волновых чисел) или же (для двумерных
волновых систем) как уравнение, определяющее кривую S волновых чисел в
плоскости (кг, к2). Из-за указанных полюсов внутри множества
интегрирования в интеграле (269) возникает опасная неопределенность:
могут получаться различные значения этого интеграла в зависимости от
того, будет ли путь интегрирования, например, по кг проходить в
комплексной плоскости кг слева или справа от определенного полюса (к тому
же эти возможности могут комбинироваться в произвольной пропорции).
= f(xu х2, х3) ехр (гсо0?), (276)
q - а ехр [? (соt - kjXj)]
(277)
В (со0, к) = 0.
(278)
440
4. Внутренние волны
Такая математическая неопределенность соответствует истинной физической
неопределенности. К "вынужденным" волнам, действительно исходящим от
источника, можно было бы добавить произвольную линейную комбинацию
"свободных" волн (решения уравнений при / = 0). Их энергия, будучи
порожденной "на бесконечности", могла бы распространяться радиально
внутрь по направлению к области источника. Поэтому математическая задача,
поставленная уравнением (274) или (276), не может полностью
соответствовать физической проблеме нахождения волн, генерируемых самим
источником и удовлетворяющих "условию излучения", согласно которому на
бесконечности не создается никакой волновой энергии.
Нужно заметить (как и в разд. 3.9), что этому условию излучения
эквивалентны различные альтернативные математические приемы: некоторые
непосредственно используют идеи групповой скорости, другие - тот факт,
что для свободных волн с фиксированной действительной частотой со0
волновое число из-за затухания становится комплексным. И все же
желательно иметь метод, который будет работать даже в том случае, когда
затухание не принимается во внимание; при этом оказывается, что в
большинстве случаев легко воспользоваться идеей источника волн, который
постепенно усиливается до своего настоящего уровня.
Это означает, что при решении математической задачи
со0 заменяется на со0 - ie. (279)
Тогда, в частности,
ехр (i(n0t) заменяется на ехр (et + iw0i), (280)
так что источник (267) постепенно усиливается по экспоненциальному закону
от нуля при t = -оо до своего настоящего уровня. Отыскивая только
соответствующие усиливающиеся волны, которые меняются со временем как ехр
(et + i(o0t), мы исключаем опасность получить решение, которое
"загрязнено" другой волновой энергией, возбуждаемой "на бесконечности".
(Здесь е - малая положительная величина, которую в дальнейшем можно
устремить к нулю.)
Как и в разд. 4.8, для быстрого и простого получения результатов
оказывается удобным произвести поворот осей. Чтобы получить направленное
распределение волновой энергии, мы должны найти асимптотическое поведение
выражения (269) вдоль произвольной прямой L, выходящей из области
источника. Для этого, каково бы ни было направление L, мы делаем
предварительный поворот осей так, чтобы прямая L совпала с положительной
осью хг. Затем мы находим асимптотическое
4.9. Общая теория осциллирующих источников волн
441-
поведение выражения (269), когда хг ->--foo, а х2 ~ -
= 0, т. е.
Как и в разд. (3.9), оценим внутренний интеграл в (281) при помощи
теоремы Коши. Путь интегрирования в комплексной плоскости опускаем на
расстояние щ, т. е. величине кг приписываем отрицательную мнимую часть (-
хх), чтобы указанный интеграл стал величиной порядка О [ехр (-xprx)]. С
точностью до ошибки этого порядка интеграл будет равен произведению (-
2ni) на сумму вычетов подинтегральной функции в каждом полюсе (где 2? =
0), через который проходит путь интегрирования в процессе его деформации
(рис. 88).
Замена (279) сдвигает эти полюсы с вещественной оси кг. Более того, она
сдвигает их вниз от оси тогда и только тогда, когда дисперсионное
соотношение (270) определяет со как функцию к таким образом, что д&/дк1 >
0. В этом и только в этом
Рис. 88. Смещенный путь интегрирования (жирная линия) в комплекс-
