Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Напряжение Рейнольдса (156) выражает действие волн на любое
бездивергентное среднее течение. В этом разделе мы рассмотрим, каким
образом распространение звуковых и внутренних волн в первоначально
покоящейся жидкости за счет этого напряжения генерирует стационарное
течение. Сначала мы докажем, что это явление не может иметь место до тех
пор,, пока волны не будут затухать. Затем исследуем течения, возникающие,
когда звуковые волны затухают в силу процессов, происходящих либо внутри
жидкости (разд. 1.13), либо на ее границе (разд. 2.7). В заключение мы
дадим довольно простую теорию вязкого затухания внутренних волн и
покажем, как
410
4. Внутренние волны
этот процесс может или привести к возникновению течения, или не привести
к нему.
Средняя сила, с которой волны действуют на элемент жидкости (рис. 78),
возникает из-за разности между значениями напряжения Рейнольдса на
противоположных сторонах этого элемента. Таким образом, средняя сила,
действующая в направлении Xj на единицу объема жидкости, равна градиенту
напряжения Рейнольдса:
Fj= - d{p0uiUj)ldxt. (182)
Для незатухающих внутренних волн эта сила равна нулю, так как, согласно
(17), ее можно записать в виде
- р 0Uiduj/dxit (183)
а скорость жидкости ut параллельна поверхностям постоянной фазы, в то
время как градиент d/dxt любой величины перпендикулярен им. Полученное
заключение о том, что выражение (182) равно нулю, согласуется с тем, что
в системах, описанных-в конце разд. 4.6, напряжение Рейнольдса принимает
постоянное значение в области, занимаемой волнами.
Для незатухающих звуковых волн сила Fj не обязательно равна нулю, но тем
не менее не может порождать никаких течений. Причина этого состоит в том,
что Fявляется градиентом скаляра; следовательно, эта сила не вызовет
бездивергентное течение, так как она может полностью уравновешиваться
градиентом среднего давления.
Этот результат можно доказать следующим образом. Незатухающие звуковые
волны являются безвихревыми, так что производная в выражении (183) есть
то же самое, что и dujdxj, а тогда это выражение является градиентом
величины
-Po^f* (184)
Можно считать, что в звуковых волнах выражение (182) включает не только
член (183), но также и член
- Ujd (р0Ui)/dXi = uj dpe/dt, (185) но последний имеет то же самое
значение, что и
- PedUj/dt^pep-'dpJdXj (186)
(так как среднее значение производной по времени от любой пульсирующей
величины, такой, как peuj, должно быть равно нулю), а (186) равно
градиенту величины
1
4.7. Стационарные течения, генерируемые затуханием волн
411
Таким образом, Fj является градиентом от скалярной величины, равной сумме
(184) и (187), которая представляет собой разность между плотностью
потенциальной энергии и плотностью кинетической энергии. Эта разность
равна, конечно, нулю при условиях, близких к условиям в случае плоских
волн, включающим условия "дальнего поля" (гл. 1), когда сила Fj
действительно •обращается в нуль. Однако даже в ближнем поле сила Fj не
порождает никаких течений, так как она может быть точно уравновешена
градиентом среднего давления, равным разности между плотностями
кинетической и потенциальной энергий.
В лаборатории часто наблюдают, как источники звука генерируют
стационарный воздушный поток. Этот "звуковой ветер" стал известным, когда
начали широко использовать мощные источники (часто с ультразвуковыми
частотами), основанные на пьезоэлектрических свойствах кварца, и поэтому
его иногда называют "кварцевым ветром". Только что проведенный анализ
вполне определенно наводит на мысль, что звуковой ветер должен зависеть
от затухания акустического пучка; эта точка зрения подтверждается тем
фактом, что поток прежде всего наблюдается при тех очень высоких
частотах, при которых в толще жидкости имеет место значительное
затухание. Действительно, как показано в разд. 1.13, часть акустической
энергии, потерянная таким образом за каждый волновой период, составляет
2ясобс~2, (188)
где коэффициент диффузии звука б включает в себя постоянные вклады от
вязкости и теплопроводности, а также и зависящий от частоты вклад от
термодинамических "запаздываний". Таким образом, доля энергии, потерянная
на единице пути распространения, которая равна величине (188), деленной
на длину волны 2яс0со-1, принимает значение
р = 6coV, (189)
которое становится особенно значительным при высоких частотах.
При этих частотах плоский источник звука, такой, как грань колеблющегося
кварцевого кристалла, может генерировать узкий пучок (разд. 1.12). Мы
рассмотрим сначала звуковой ветер, связанный с затуханием такого пучка.
Действующая на жидкость суммарная сила, вызываемая пучком мощности Р (в
Вт), равна Рс~\ и распределена таким образом, что на расстоянии X от
источника сила, отнесенная к единице длины, дается выражением
(190)
412
4. Внутренние волнъе
Приведем два альтернативных способа интерпретации этого> результата.
В напряжении Рейнольдса (156) в звуковом пучке преобладающим членом,
