Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(распространение по потоку) волны данной частоты со имеют относительные
частоты со г, которые постепенно уменьшаются (соответствуя увеличению
длин волн), когда скорость потока увеличивается. То же самое уравнение
(146) дает обычную уменьшенную частоту сог звука, воспринимаемого
наблюдателем в спокойном воздухе от звукового источника с частотой со,
удаляющегося от наблюдателя со скоростью V (в направлении, образующем
угол 0 с прямой, соединяющей источник и наблюдателя). И наоборот, эффект
Допплера делает сог больше со в тех случаях, когда либо (i) движущийся
источник приближается к наблюдателю в спокойном воздухе, либо (и) волны
распространяются против потока.
Построение лучей в воздушном потоке начинается с комбинации уравнений
(141) и (143):
со =kjVj (хг, х2, х3) + сог (ки к2, к3, хъ х2, х3). (147)
Затем это соотношение между производными (80) от фазовой функции а
приводит, как и в общей теории, начинающейся с уравнения (100), к
уравнениям (106) и (107) для скоростей изменения вдоль лучей. Скорость
(107) волнового пакета вдоль его луча выражается как
dxildt = Vi + да>г/дк( = Vt + Ut, (148)
что является просто векторной суммой скорости воздушного потока и
групповой скорости в покоящейся жидкости. Как и следовало ожидать,
волновой пакет перемещается с локальной групповой скоростью относительно
локального воздушного потока.
398
4. Внутренние волны
Уравнение (147) показывает также, что в воздушном потоке закон (106),
описывающий рефракцию, принимает вид
dkjdt - -kj dVjldXi - da>r/dxi. (149)
Здесь первый член представляет рефракцию, обусловленную градиентами
воздушного потока, а второй - рефракцию, обусловленную изменением свойств
жидкости (таких, как с0 и N).
Как и в общей теории, из результата (108) следует, что частота со
остается вдоль лучей постоянной. Однако относительная частота сог может
изменяться; действительно,
dti)T/dt = (dar/dki) dkjdt + (дсог/дхг) dxjdt =
= -Utkj dVjldXi + Vi d(oTldxi. (150)
Существует поразительная связь между изменениями относительной частоты и
волновой энергии. Из разд. 4.5 нам известно, что в покоящейся жидкости
волновая энергия переносится неизменной вдоль лучей. Это не так для волн
в неравномерно движущейся жидкости, главным образом потому, что эти волны
сами по себе не составляют консервативную систему: они могут обмениваться
энергией со средним течением.
Это можно быстро понять, если воспользоваться в каждой точке локальной
системой отсчета, движущейся с локальной средней скоростью Vj. Мы
обозначим плотность волновой энергии через WT, чтобы напомнить себе, что
это-значение W при движениях волн относительно локального потока. Поэтому
Wr связано с амплитудой и волновым числом так же, как в покоящейся
жидкости, поскольку это есть значение W в той локальной системе отсчета,
в которой невозмущенная жидкость находится в состоянии покоя.
Общий принцип механики (уже использованный в разд. 1.9) утверждает, что
частица массы М, движущаяся в ускоренной системе отсчета, ведет себя так,
как если бы помимо всех обычных сил, действующих на нее, к ней была
приложена дополнительная сила, так называемая сила инерции. Эта сила
инерции равна произведению -М на ускорение системы отсчета. (Сила инерции
по существу представляет собой член, равный произведению массы на
ускорение, который, будучи опущен в выражении второго закона движения
Ньютона, в которое были включены только ускорения относительно системы
отсчета, должен появиться в "силовой" стороне этого уравнения с
противоположным знаком.)
Если движение жидкости исследуется в системе отсчета, различной в каждой
точке и имеющей при (хх, х2, х3) скорость Vj (хЛ, хг, х3), то на частицу,
которой волновые движения
4.6. Прослеживание луча в воздушном потоке
399
сообщают скорость и;, будут действовать все силы, присущие этим волновым
движениям в покоящейся жидкости, плюс еще одна дополнительная сила, а
именно сила инерции, равная
-рUt dVjldxi (151)
на единицу объема, где р - масса частицы на единицу объема, а
щ dVj/dxt (152)
- ускорение системы отсчета, связанной со скоростью частицы ut.
Соответственно вокальная скорость изменения волновой энергии dWTldt на
единицу объема равна сумме обычного значения
-V-I = -д (WVUi)!dxi (153)
и мощности
- pu-iUj dV jldxi (154)
силы инерции на единицу объема (151), действующей на частицу жидкости,
имеющую скорость и}-. Черта в (154) означает осреднение по периоду волны.
Мы узнаем здесь уже встречавшуюся в разд. 1.10 величину рUiUj как тензор
потока количества движения, представляющий, например, скорость переноса
Xj-й составляющей количества движения (ри,) в направлении xt. Осредненный
поток количества движения, входящий в выражение (154), может
перераспределить количество движения среднего течения; на рис. 78
показывается, что эта величина действует на среднее течение как
приложенное извне напряжение (сила на единицу площади), которое совершает
работу, соответствующую мощности
