Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лайтхилл Дж. -> "Волны в жидкостях" -> 171

Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.

Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях — М.: Мир, 1981. — 603 c.
Скачать (прямая ссылка): volnivjitkosytyah1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 165 166 167 168 169 170 < 171 > 172 173 174 175 176 177 .. 242 >> Следующая

очевидно, является составляющая, параллельная пучку (член р0и\,
соответствующий i = / = 1, если пучок направлен вдоль оси хг).
Соответственно в градиенте (182) основным членом является скорость
изменения по хх, обусловленная затуханием. Действительно, мы только что
показали,, что любое воздействие пучка, не являющегося строго
параллельным (разд. 1.12), не проявлялось бы при отсутствии затухания.
Таким образом, сила на единицу объема, определяемая выражением (182),
почти параллельна пучку и принимает значение, соответствующее затуханию,
происходящему со скоростью Р на единицу пути, а именно значение
где W - плотность волновой энергии, а I - интенсивность (поток волновой
энергии). Поэтому сила, отнесенная к единице длины, принимает вид (190),
так как интеграл от / по площади поперечного сечения пучка равен мощности
остающейся в пучке на расстоянии X от источника после затухания со
скоростью Р на единицу пути.
Еще проще (возможно) воспользоваться результатом (159), доказанным в
предыдущем разделе для звуковых волн, чтобы убедиться, что поток
количества движения в пучке равен потоку энергии /, умноженному на
величину со-1/^, которая равна с"1. Суммарный поток количества движения
на расстоянии X от источника поэтому равен потоку энергии (192),
умноженному на с"1. А тогда видно, что генерирующая стационарный поток
сила (190), отнесенная к единице пути, представляет собой убывание на
единицу пути этой акустической скорости потока количества движения.
Распределение стационарной силы, обусловленной звуковыми волнами (Fj на
единицу объема в общем случае или же величина (190) на единицу пути для
пучка), генерирует поле потока, который сам по себе становится
стационарным, как только достигает такой скорости, при которой
оказываемое ему вязкое сопротивление будет препятствовать дальнейшему
ускорению жидкости. При этом уравнения, определяющие поле бездивергентной
средней скорости uj, принимают вид
PpouJ = $W = р/с'1,
(191)
Ре~?>х,
(192)
роut dujtdXi = Fj - dp/dXj+ рЛ/2к;-.
(193)
4.7. Стационарные течения, генерируемые затуханием волн
413
Правая часть уравнения (193) включает отнесенные к единице объема силы,
обусловленные волнами, распределением среднего давления и вязкими
напряжениями (см. разд. 3.5), а левая пасть представляет собой член,
равный произведению массы на ускорение при условиях стационарного
течения.
Движения акустического потока обычно рассчитываются без учета левой части
уравнения (193), так что принимается, что Uj удовлетворяет уравнениям
Это упрощение, по-видимому, логично, так как средние течения (вызванные
силами, пропорциональными акустической мощности) пропорциональны
квадратам возмущений; поэтому величина в левой части (193)
пропорциональна четвертой степени возмущений, и ею следует пренебречь при
определении любой величины второго порядка, подобной полю среднего
потока. Мы приведем сначала результаты линеаризации уравнения (193) для
которая сводит его к уравнениям (194), описывающим течения с малыми
числами Рейнольдса; затем мы покажем, насколько слабыми должны быть,
однако, возмущения, чтобы это было хорошей аппроксимацией.
В литературе, посвященной течениям с малыми числами Рейнольдса,
показывается, что решения уравнений (194) в неограниченной жидкости можно
записать в виде
где вектор rt (с модулем г) означает перемещение от объемного элемента
dr, на который действует сила Fj dr, до точки с искомой скоростью Uj.
Подинтегральное выражение в (195) называется полем скоростей от
стокслета, порождаемым силой Fj dr.
При очень большой скорости затухания |3 распределение (190) силы,
отнесенной к единице длины, в звуковом пучке может быть достаточно хорошо
представлено как поле скоростей ¦от стокслета, генерируемое одной
сосредоточенной силой F = = Рсо1, приложенной в центре масс X = Р-1 этого
распределения. Указанное поле скоростей легко построить (рис. 82, а) при
помощи правила, согласно которому объемный расход через любое "кольцо"
радиуса s с центром на линии действия этой сосредоточенной силы (и
перпендикулярное ей) равен
Очевидно, что объемный расход (196) через каждое поперечное ¦сечение
одной из трубок тока на рис. 82, а должен сохранять
F} - др/дх]-^-\xV2Uj = 0, duj/dxj = 0. (194)
(195)
(4|х)-1 FsPr-1.
(196)
ч
414
4. Внутренние волны
F
а
С
б
Рис. 82. Медленное стационарное течение, порождаемое средней силой F,.
с которой акустический пучок действует на жидкость, а - трубки тока для
стокслета (решение для медленного течения, генерируемого сосредоточенной
в точке силой F). б - трубки тока для экспоненциального распределения
силы (190), характерного для затухающего акустического пучка. В обоих
случаях штриховая линия изображает ось симметрии. Объемный расход в
каждой изображенной здесь трубке тока равен расходу в самой внутренней
трубке тока.
4.7. Стационарные течения, генерируемые затуханием волн 415-
ОДНО и то же постоянное значение. В качестве этих объемных, расходов
Предыдущая << 1 .. 165 166 167 168 169 170 < 171 > 172 173 174 175 176 177 .. 242 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed