Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
течение. В следующем разделе мы будем изучать течения, полностью
генерируемые распространением волн.
Мы описали ранее (разд. 3.9) волны в потоке воды, который, однако,
представляет собой просто равномерное течение, на которое накладываются
эти волны. В некоторой системе отсчета вода находится в состоянии покоя,
за исключением этих волн, генерируемых движущимся в данной системе
отсчета объектом.
В этом разделе мы будем изучать распространение волн в неравномерных
потоках, в которых проявляется способность жидкости к неограниченным
деформациям. Хотя в каждой точке система отсчета может быть выбрана
локально так, что среднее течение будет отсутствовать и волны будут
распространяться в покоящейся жидкости, требуемая система отсчета при
этом будет различной в разных точках. Это, как мы увидим, изменяет
энергетику распространения волн.
В то же самое время мы ограничимся течениями, которые неравномерны, но
меняются только плавно в масштабе длины волны. Сначала мы покажем, как
можно расширить общую теорию прослеживания лучей (разд. 4.5), чтобы
применить ее к распространению волн довольно общего типа в движущейся
жидкости при условии, что ее свойства (включая поле скоростей течения, а
также и свойства, которые влияли бы на волны даже в покоящейся жидкости)
меняются медленно в масштабе длины волны. В качестве основных иллюстраций
мы используем распространение звуковых и внутренних волн в неравномерном
воздушном потоке. Мы ссылаемся также на результаты, относящиеся к
распространению волн в неравномерном потоке воды.
Во всех случаях мы обнаружим, что уравнения, относящиеся к энергии (разд.
4.5), изменяются, так как имеет место энергообмен между волнами и средним
течением. Мы дадим простую теорию этого энергообмена, применимую к
звуковым волнам, волнам на воде и внутренним гравитационным волнам и
пригодную также для изучения течений, генерируемых волнами (раздел 4.7);
в дальнейшем (вторая часть эпилога) мы увидим, что один из основных
результатов (сохранение волнового действия) является принципом очень
большой общности, который может быть использован как ключ для анализа
энергообмена в гораздо более широком классе случаев.
396
4. Внутренние волны
Мы используем
V = (Vu Vt, Уз) (140)
для обозначения поля средних скоростей, через которое распространяются
волны. Волны часто будут рассматриваться в локальной системе отсчета,
движущейся с определенным значением (140) скорости среднего течения. В
этой системе отсчета воздушный поток локально отсутствует и волны имеют
частоту
со г = со г (&!, к2, к3, хи х2, х3), (141)
соответствующую покоящейся жидкости. Индекс г в (141) можно рассматривать
как обозначение покоя (rest) или же относительности (relative): сог
является частотой колебаний относительно локальной средней скорости. Так
же как и в разд. 4.5, мы предположим, что свойства жидкости меняются
столь медленно, что только их локальные значения влияют на локальное
дисперсионное соотношение (141). Аналогично этому мы будем предполагать,
что изменения среднего течения в пределах длины волны настолько малы, что
их влиянием на дисперсионное соотношение можно пренебречь.
Существует простое соотношение между абсолютной частотой со (частотой
колебаний, происходящих в некоторой фиксированной точке пространства) и
относительной частотой сог (частотой колебаний, происходящих в точке,
движущейся со скоростью Vj). Абсолютная частота со и волновой вектор kt
даются частными производными (80) от фазовой функции а (хх, х2, х3, t).
Относительная частота сог представляет собой скорость
daldt + V) da/dxj, (142)
с которой изменяется фаза в точке, движущейся со скоростью V у, поэтому
со г = со - Vjkj. (143)
Уравнение (143), связывающее частоты одних и тех же волн в двух различных
системах отсчета, является очень важным для прослеживания лучей в
воздушном потоке, а также имеет и другие приложения. Например, волны,
генерируемые в покоящейся жидкости движущимся источником, который
осциллирует с частотой со, имеют относительно жидкости частоту сог,
которая удовлетворяет (143) при условии,, что Vj является скоростью
источника с обратным знаком; иначе говоря, Vj (как и выше) представляет
собой скорость жидкости относительно системы отсчета, в которой
измеряется со. В случае движущихся источников уравнение (143) уже давно
называется соотноше-
4.6. Прослеживание луча в воздушном потоке
397
тшем Допплера, и естественно его называть этим именем также и для волн,
распространяющихся в неравномерно движущейся жидкости.
Для звуковых волн, волновой вектор которых kt (перпендикулярный гребням
волн) образует угол 0 со скоростью воздушного потока Vj, обычное
акустическое соотношение
со г = с0 (/с2 + к\ + /с*)1/2, (144)
которому удовлетворяет со г, означает, что
Vjkj = V (/с2 + к\ + ЩЧ* cos 0 = со r (F/c0) cos 0, (145)
где V - скорость воздушного потока. Поэтому уравнение (143)
дает
сог = , ю р-. ' (146)
l + (F/co)cos0 ' '
Такая запись соотношения Допплера означает, что для острых углов 0
