Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(ico/v)-1'2 (duex/dx) {1 - ехр [- z (ico/v)1/2]} (212)
по той же причине, что и в (206). В этом случае расчет влияния члена
(202), представляющего среднюю силу, производится так же, как и выше, и
дает добавку
-иех (duex/dx) (4oj)_1 (213)
к средней скорости (и)ех на кромке пограничного слоя. Однако для такого
движения (из-за более резкого изменения вдоль оси среднего значения
квадрата осевой скорости и) становится существенным влияние
- р 0д(иг)/дх (214)
продольного напряжения Рейнольдса. Учет этого влияния при помощи
аналогичных методов дает добавку к (и)ех, как раз вдвое большую (213). В
итоге, складывая эти два члена, получаем
_ з
(и)ех - (r) ^Ох (du^xjdx). (215)
Уравнение (215) является записью знаменитого закона Ре-лея, который
гласит, что в стоячих волнах течение у кромки пограничного слоя всегда
направлено к узлам (положения, где амплитуда скорости иех равна нулю) х).
Это объясняет, почему частицы пыли стремятся скапливаться в узлах -
явление, использовавшееся в прошлом веке, чтобы точно определить
расстояние между узлами и, следовательно, скорость звука (рис. 85).
Стоячие волны вне пограничного слоя наблюдаются также в случае, когда
бегущая звуковая волна падает на закрепленное компактное препятствие. Мы
знаем (разд. 1.10), что если бы в звуковой волне скорость
u = ux ехр (iat) (216)
достигалась на месте препятствия при его отсутствии, то при наличии
препятствия поле скоростей вблизи него практически будет бездивергентным
полем осциллирующего обтекания (216) этого препятствия. Указанное поле
скоростей обладает осциллирующим пограничным слоем общего вида (205), где
J) Течение, конечно, как и ранее, уравновешиваемое центральным обратным
течением.
422
4. Внутренние волны
Ось
симметрии
Стенка
трубы
Рис. 85. Течение, генерируемое в трубке синусоидальной стоячей волной
(для которой иех = их sin (2ях/Х), не считая множителя ехр (гой)).
Соотношение между радиальным (радиус трубки) и осевым (длина волны)
масштабами может быть произвольным. Общий расход делится указанными
трубками тока на четыре равные части. Течение стремится заставить
мельчайшую пыль скапливаться в узлах i = 0ni = Х/2. Этот факт дает
возможность измерить расстояние Х/2 для волн данной частоты, а затем
определить скорость звука.
z - расстояние от поверхности препятствия. Здесь снова скорость внешнего
потока иех является действительной функцией положения на этой
поверхности, если не считать множитель ехр (iat).
Это пограничный слой с дополнительным членом -z (duex/dx) в выражении для
w, который нужно добавить к предыдущему члену (212), чтобы поле локальной
скорости имело нулевую дивергенцию (вместо той, которая была постоянной
поперек пограничного слоя). Однако в действительности оказывается, что
при расчете средней скорости и на кромке пограничного слоя этот
дополнительный член не имеет никакого значения (хотя он и изменяет
распределение внутри пограничного слоя, создавая интересное обратное
течение вблизи поверхности). Соответственно закон Релея (215) по-прежнему
имеет место. Он означает, .что движение всегда направлено к точкам
застоя.
Например, в случае закрепленного кругового цилиндра радиуса а,
подвергающегося действию перпендикулярных его оси плоских волн,
распределение внешней скорости имеет вид
иех = 2их sin (zfa) = 2ut sin 0, (217)
где x = ад - координата пограничного слоя, измеряемая вдоль поверхности
от передней точки застоя. Тогда средняя скорость у кромки пограничного
слоя дается выражением (215), принимающим вид
(й)вх e sin 20; (218)
это течение, как обычно, направлено к точкам застоя (0 = 0
и 0 = я).
4.7. Стационарные течения, генерируемые затуханием волн 423
Рис. 86. Медленное обтекание зекрепленного кругового цилиндра, вызванное
звуковой волной, распространяющейся в направлении, указанном штриховой
линией (относительно которой вся картина течения симметрична). Показанные
на чертеже линии тока делят полный расход в каждом квадранте на четыре
равные части
На рис. 86 изображено соответствующее обтекание цилиндра при малых числах
Рейнольдса, когда азимутальная составляющая скорости уменьшается обратно
пропорционально кубу расстояния от оси. Наоборот, если бы число
Рейнольдса, основанное на скорости течения (218), было большим, то
инерционные эффекты стремились бы удерживать это течение в пределах
несколько более узкой области...
Из-за действия вязкости энергия внутренних волн уменьшается (рис. 87) со
скоростью
v (к2 + I2 + т2) (219)
в единицу времени; если скорость (219) выразить через скорость
распространения энергии (91), то она составит
р = v (к2 + I2 + т2)2 (Nm)~x (220)
на единицу пути вдоль лучей. Это приводит к средней силе
на единицу объема, которая задается выражением (182), направлена вдоль
лучей и величина которой выражается через плотность волновой энергии W в
виде Р W. Вертикальная составляющая этой средней силы легко
уравновешивается той гравитационной восстанавливающей силой, которая