Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
утверждающему, что волновое действие, определяемое так, что его значение
на единицу объема равно WTa~l (волновая энергия, деленная на
относительную частоту), переносится неизменным вдоль лучей. Хотя в
приведенном выше выводе и были сделаны различные ограничительные
предположения, в эпилоге мы покажем, что этот принцип имеет очень большую
общность; в частности, для волн, распространяющихсся в среднем потоке, он
играет ту же самую роль, что и принцип сохранения волновой энергии для
волн в покоящейся жидкости.
Сохранение волнового действия означает, что волновая энергия возрастает
(за счет среднего течения) всюду, где лучи входят в области возрастающих
сог; с другой стороны, волновая энергия теряется (питая среднее течение)
всюду, где сог убывает. Уравнение (143) показывает, что изменения
составляющей среднего течения, параллельной kt (т. е. перпендикулярной
гребням и имеющей направление их движения), вызывают противоположные
изменения сог и, следовательно, волновой энергии. Например, волны в воде,
движущиеся из области покоя в область встречного течения, получают
приращение волновой энергии.
Принцип (162) легче всего применять к волнам с фиксированной частотой,
когда колебания в любой фиксированной точке пространства носят
стационарный периодический характер (ср. с разд. 4.5). В таком случае в
исходной системе координат, когда скорость среднего течения равна F;,
этот принцип записывается в виде
д [WTсо;1 (U, + Vt)Vdxt = 0. (163)
Уравнение (163) показывает, что вектор, записанный в квадратных скобках и
называемый потоком волнового действия, является соленоидальным; иначе
говоря, его величина меняется вдоль трубок лучей обратно пропорционально
площади их поперечного сечения. Волны с фиксированной частотой со имеют
меняющийся поток энергии вдоль трубки лучей и меняющуюся относительную
частоту со г, но их отношение (поток волнового действия вдоль трубки
лучей) является постоянным.
Мы завершаем настоящий раздел (как и разд. 4.5), демонстрируя, как
упрощается изложенная теория в случае страти-
4.6. Прослеживание луча в воздушном потоке
403
фицированной атмосферы, когда дисперсионное соотношение принимает вид
со г = со г (k, I, т, z), (164)
зависящий только от вертикальной координаты z. Изложение теории будет
дано для случая воздушного потока, направленного в одну сторону, но
обладающего сдвигом
V = (V (z), 0, 0). (165)
Читатель убедится, что эту теорию нетрудно распространить и на случай,
когда, кроме составляющей вдоль оси х, средний поток имеет также
составляющую вдоль оси у; однако, как пояснялось выше, составляющая вдоль
оси z была бы несовместима с постоянной стратификацией в невозмущенном
состоянии.
Выражение (147) для со принимает вид
со = kV (z) + "г (к, I, т, z). (166)
Как и в общей теории, для волн, удовлетворяющих соотношению (122) между
частотой и волновым числом, зависящими только от одной координаты z,
уравнения рефракции в точности эквивалентны соотношениям (121),
утверждающим, что со, к и I сохраняют постоянные значения вдоль луча.
Тогда уравнение (166) определяет т как функцию z, а уравнения (148) дают
направление лучей в виде
dx V (z) + дшг1дк dy dar/dl M67i
dz даr!dm ' dz да>Т/дт ' ' '
где правые части являются известными функциями z; эти уравнения можно
проинтегрировать, чтобы получить изменение х и у вдоль луча.
Как и в разд. (4.5), мы заключаем, что сечения трубки лучей любой
горизонтальной плоскостью имеют одну и ту же площадь, и получаем из
уравнения (163), что восходящая составляющая потока волнового действия
Wr^r1 d(>)T/dm (168)
постоянна вдоль луча. Если лучи уже определены, то при помощи этого
принципа легко найти амплитуды волн.
Для звуковых волн мы запишем составляющие волнового вектора в виде
к = &н cos ф, I = &н sin ф, т - &н ctg 0, (169)
где &н - постоянная горизонтальная составляющая этого вектора, ф - его
постоянный азимутальный угол с направлением воздушного потока, а 0 - его
переменный угол с вертикалью.
26*
404
4. Внутренние волны
Тогда
со r = с0 (z) (к2 + I2 + т2)1/2 = с0 (z) /сн cosec 0, (170)
так что уравнение (166) дает
как аналог закона Снелла (128). Рефракция, обусловленная температурными
изменениями и изменениями воздушного потока, представляется числителем и
знаменателем выражения (171) соответственно. Траектории лучей, когда угол
0 уже определен как функция высоты z, получаются из уравнений (167) в
виде
dxldz = V (z) [с0 (z)]-1 sec 0 + cos ф tg 0, dyldz =
Амплитуды звуковых волн выводятся на основании того, что восходящая
составляющая потока волнового действия
остается постоянной вдоль луча.
При отсутствии значительного воздушного потока заметное воздействие на
распространение звука могут оказывать температурные изменения.
Положительный вертикальный градиент, удовлетворяющий неравенству (75),
влечет за собой уменьшение с0 (z) с высотой на величину до 6 м/с на км.
Это приводит к тому, что (171) уменьшается с высотой, так что лучи
