Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лайтхилл Дж. -> "Волны в жидкостях" -> 162

Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.

Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях — М.: Мир, 1981. — 603 c.
Скачать (прямая ссылка): volnivjitkosytyah1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 156 157 158 159 160 161 < 162 > 163 164 165 166 167 168 .. 242 >> Следующая

распределение амплитуды волн. Понятие "трубок лучей", уже введен-
390
4. Внутренние волны.
ное в разд. 1.11 и широко использованное в разд. 2.14, часто является
прекрасным средством, позволяющим это сделать.
В диспергирующих системах метод трубок лучей можно использовать каждый
раз, когда исследуются волны фиксированной частоты со. Такой случай может
возникнуть либо тогда, когда все волны в системе генерируются колебаниями
с фиксированной частотой со, либо тогда, когда уже проведено разложение в
ряд Фурье по частоте.
Для волн с фиксированной частотой волновая картина стационарна по
времени. Поэтому уравнение
dWldt + V • I = 0, (115)
связывающее для общей диспергирующей системы плотность волновой энергии и
поток волновой энергии
I = WU, (116)
сводится к уравнению
V -(BTJ) = 0, (117)
из которого следует, что I образует соленоидальное векторное поле.
Уравнение (117) можно записать через площадь поперечного сечения А тонкой
трубки лучей (образуемой лучами цилиндрической поверхности, к которой
вектор групповой скорости U, само собой разумеется, всюду касателен). В
этом случае оно принимает вид
WUA = const вдоль трубки лучей. (118)
Физически это выражает сохранение энергии, проходящей вдоль трубки, через
вариации плотности волновой энергии W, величины скорости распространения
энергии U и площади сечения трубки лучей А.
Для недиспергирующих систем этот метод упрощается тем, что трубки лучей
одинаковы для всех частот. Например, для звуковых волн, удовлетворяющих
(88) при с0, являющемся функцией координат хг, уравнения (106) и (107)
для лучей принимают вид
dkjdt = -(hi + Щ + к1)У2дс0/дх1,
dxjdt = c0kt (k\ -f k\ + ^)-1/2, (119)
и если задана какая-то лучевая картина для одного фиксированного значения
со, то та же самая лучевая картина должна удовлетворять уравнениям (88) и
(119) и при со, къ к2 и ка, умноженных на одну и ту же постоянную.
Для диспергирующих систем, которые не были еще проанализированы методом
Фурье по времени, должно использоваться
4 5. Общая теория прослеживания луча
391
полное уравнение (115). С учетом (116) его можно записать в виде
dW/dt = -W V -U = -W dUj/dxj, (120)
где левая часть dW/dt -j- U -V W представляет скорость изменения W вдоль
луча. Однако не совсем ясно, как решать уравнение (120); например, его
нельзя непосредственно интегрировать вдоль лучей вместе с другими
обыкновенными дифференциальными уравнениями (106) и (107), так как для
того, чтобы определить частные производные в правой части, надо знать
соседние решения. Неудобство этого подхода и привело к тому, что обычно
предпочитают метод трубок лучей (которому предшествует, если это
необходимо, разложение в ряд Фурье), за исключением однородных систем,
для которых имеется хороший альтернативный метод, который будет описан в
разд. 4.8.
В конце этого раздела мы проиллюстрируем общую теорию примером внутренних
волн в стратифицированной жидкости, удовлетворяющих уравнению (24) с
частотой Вяйсяля - Брента N (z), которая меняется по z медленно в
масштабе длины волны. Однако до этого мы покажем, насколько существенно
упрощается общая теория каждый раз, когда в дисперсионное соотношение
(100) входит явно только одна координата (скажем, х3 = z). При этом
уравнения (106) для кх и к2 переходят в уравнения dkjdt = 0 и dkjdt = 0,
показывающие, что кг и /с2, так же как и со, остаются вдоль лучей
постоянными. Эти три условия действительно эквивалентны трем уравнениям
(106); в данном случае не только существует нужное число условий, но в
силу уравнения (108) имеет место еще и тачная эквивалентность. Таким
образом, трехмерные системы, неоднородность которых зависит только от
одной координаты, во многих отношениях сохраняют простоту, присущую
одномерным системам.
В стратифицированной атмосфере или океане мы используем координаты (х, у,
z) с вертикальной осью z. Тогда для волн любого типа, свойства которых не
зависят от т и у, лучи могут быть описаны посредством уравнений
со = const, к = const, I = const. (121)
Вместе с дисперсионным соотношением
со = сo(k,l,m,z) (122)
эти уравнения определяют т как функцию z. Тогда правило, согласно
которому направление луча является направлением групповой скорости (90),
можно записать в виде
dx да/дк dy______ да/д1
dz да!dm ' dz да!dm '
392
4. Внутренние волны
где правые части являются известными функциями от z; эти уравнения можно
проинтегрировать, чтобы получить изменение хну вдоль луча.
В таких случаях метод трубок лучей для колебаний с фиксированной частотой
со принимает особенно простую форму, так как сечения трубки лучей любой
горизонтальной плоскостью имеют одну и ту же площадь. Это следует из
того, что решения уравнений (123) с произвольными начальными значениями
х0, у о на высоте zn имеют вид
*=*<>+J(-fSr)dz' y=--y^(i?^)dz <124>
г"
на высоте г; здесь интегралы всегда представляют одни и те же
горизонтальные смещения (х - х0, у - у0) для различных лучей. Применяя
теорему о дивергенции в части трубки лучей, ограниченной двумя
Предыдущая << 1 .. 156 157 158 159 160 161 < 162 > 163 164 165 166 167 168 .. 242 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed