Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
горизонтальными плоскостями, к соленои-далъпому векторному полю WU, мы
приходим к заключению, что его составляющая по оси z не зависит от z:
W дву/dm const вдоль луча. (125)
В физических терминах это означает, что для колебаний с фиксированной
частотой со каждый луч песет определенные значения не только
горизонтальных составляющих волнового вектора к и I, но также и
направленной вверх составляющей потока плотности волновой энергии.
Для звуковых воли в стратифицированной атмосфере уравнения (123) при
о) = (/с2 + I1 + т2)У2с0 (z) (126)
дают довольно простую информацию:
dx/dz = к/т, dy/dz - 1/т, (127)
означающую, что лучи параллельны волновому вектору. Они могут быть
построены при помощи закона Снелла, утверждающего, что синус угла 0 между
лучом и вертикалью принимает значение
sin 0 = (к2 + 12)У2 (к2 + 12 + т2)~У2 = (к2 + l2)1!2 со-Д,, (z), (128)
которое (при условиях (121)) меняется с высотой пропорционально скорости
звука с0 (z). Звуковые амплитуды получаются как следствие того факта, что
восходящая составляющая потока плотности волновой энергии
Wc0 cos 0 (129)
постоянна вдоль луча.
4.5. Общая теория прослеживания луча
393
Для внутренних волн лучи, параллельные групповой скорости (91),
удовлетворяют уравнениям
dxldz = -кт (к2 + l2)~x, dy/dz - -1т (к2 + 12)~х, (130)
означающим, что каждый луч перпендикулярен волновому вектору ii
компланарен с ним и вертикалью. Аналог закона Снелла состоит в том, что
угол 0 между лучом и вертикалью удовлетворяет условию
sec 0 = [1 + (dxldz)2 + (dy/dz)2]1/'2 =
= (к2 + I2 + т2)1!2 (k2 + I2)-1/2 = со-AV (г), (131)
которое по существу является подтверждением уравнения (15), показывающим,
что sec 0 изменяется с высотой пропорционально частоте Вяйсяля - Брента N
(z). Постоянная по величине восходящая составляющая (125) потока
плотности волновой энергии принимает вид
-WNm (к2 + И)1'2 (к2 + I2 + т2)-3/2; (132)
при помощи (93) это выражение может быть записано через волновую
амплитуду ql как
-j p-'qlNm (к2 + Z2)-1/2 (к2 +Р+ пт2)-1/2 (133)
или с учетом (24) как
-5" рДд^/псо (fc2 Д- l2)~l. (134)
Очевидно, что при условии (52), когда звуковые и внутренние волны не
связаны друг с другом, выражение (134) является прекрасным приближением
значения (60) для восходящей составляющей потока плотности энергии в
случае полностью связанных волн.
В океане относительные изменения р0 пренебрежимо малы, и поэтому
постоянство (134) означает, что q\m постоянно вдоль луча. При условии
da/dz = -т для фазы а это дает приближенное решение
2
q = Ст~ V2 ехр |^г ^ coZ- кх - ly - j т dz^ j, (135)
Zo
где С - постоянная, а т, согласно (24), имеет вид
т = (к2 + Z2)1/2 {со-2 IN (z)]a - l}1/2. (136)
Мы можем сравнить этот результат в случае I = 0 с решениями вида (70).
Функция Q (z), согласно (71) и (136), должна
394
4. Внутренние во4ни
удовлетворять уравнению
Q" (2) = -m2Q (*), (137)
но (135) дает, что
Z
<?(z) = Cm-1/2 ехр ^-ijwidzj. (138)
Zo
Почти так же, как и в разд. 2.6, мы оценим ошибку в выражении (138),
подставив его в левую часть (137). При этом получаем
^ - m2 - -i-(m/7m)-f--|-(m'M)2J Q(z). (139)
Это выражение удовлетворяет (137) с ошибкой порядка квадрата отношения
относительной скорости изменения величины т. (т. е. т' /т или (т"1т)г/г)
к самому т; заметим, что для того, чтобы ошибка была величиной порядка
квадрата этого отношения, в (138) был введен множитель т'1/2. Когда т
изменяется очень незначительно по сравнению с самим собой в пределах
расстояния 1/т, такое приближение должно быть превосходным.
Заметим, однако, что приближение (138) не может быть использовано для
захваченных волн; ошибка становится неприемлемой всюду, где N (z) убывает
до значения со, так что т стремится к нулю (и лучи имеют точки возврата с
вертикальной касательной). Мы отложим до разд. 4.11 анализ тонкостей,
связанных с прослеживанием лучей, который позволяет использовать его
также и в этих случаях.
Мы увидим, что для внутренних волн в атмосфере, где р0 меняется
значительно, выводы из приближения Буссинеска (138) относительно того,
что амплитуда меняется приближенно как т~Х/2, могут быть недостоверными;
фактически их нужно модифицировать так (поскольку выражение (134) должно
оставаться постоянным), чтобы изменение происходило по закону pj/2m-1/2.
Это подтверждает предположение, высказанное в конце разд. 4.2, о том, что
пренебрежение множителем pj/2 в выражениях для q и ре составляет основную
ошибку приближения Буссинеска.
4.6. Прослеживание луча в воздушном потоке
Волны в жидкости отличаются от волн других типов в одном важном
отношении: жидкая среда, через которую распространяются волны, может быть
вовлечена в крупно-
4.6. Прослеживание луча в воздушном потоке
395
масштабное течение. Такое течение обычно порождается некоторой причиной,
не зависящей от волн; в этом разделе, например, мы проанализируем влияние
атмосферных потоков на распространение звуковых и внутренних волн. Мы
уже, однако, отмечали некоторое взаимное влияние распространения волн на
