Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
+ putUj dVjldxi (155)
на единицу объема. Мы приходим к заключению, что локальная волновая
энергия меняется со скоростью на единицу объема, определяемой двумя
процессами, в каждом из которых энергия сохраняется: (i) член (153)
представляет перенос волновой энергии Wг с групповой скоростью U;
относительно локального среднего течения; (и) член (154) представляет
обмен со средним течением, который происходит со скоростью, равной и
противоположной по знаку скорости изменения энергии (155). _____
Мы называем pupij напряжением Рейнольдса. Рейнольдс первый показал, что
турбулентные изменения скорости жидкости около среднего течения действуют
с эффективным напряжением на это среднее течение; распространение волн в
среднем течении действует таким же образом, и выражение для эффективного
напряжения в точности то же самое.
400
4. Внутренние волны
pU/UjS
I 4
I В I
Площадь S
Uilu
I
-xj
Площадь S
Площадь S
pUjUjS 4 4 1 D |
¦ *-
1 С 1 1 1
PUj и, S
4 4
1 В 1
/ ¦ f- у
I A I I I
Рис. 78. Волновые движения со скоростями щ относительно неравномерного
среднего течения со скоростью Vj. а - эти движения переносят Xj-ю
составляющую количества движения рuj на единицу объема в направлении xt
через площадку S со средней интенсивностью putUjS. Поэтому puiuj
действует как среднее напряжение (сила на единицу площади), б -
результирующая сила на элемент объема, соответствующая этой составляющей
напряжения, равна разности -h[d[puluj)ldxi] S .между силами, действующими
на две противолежащие грани элемента, имеющие площадь S и находящиеся на
расстоянии h одна от другой. Соответствующая средняя мощность, с которой
совершается работа сил, действующих на этот элемент, составляет
- Vj[d(puiUj)ldxj] на единицу объема. Средний энергообмен через
поверхности отвечает части этой величины, а именно -д [Vj (рUjUj^/dxi на
единицу объема, обусловленной разностью между мощностями Vj (рUjUjS), с
которыми совершается работа сил на двух противолежащих гранях элемента,
разделенных расстоянием h. Оставшаяся часть, представляемая выражением
(155), составляет чистое среднее приращение энергии на единицу объема,
получаемое средним течением.
В линейной теории можно пренебречь кубами возмущений в энергии или
скорости ее изменения; поэтому напряжение Рейнольдса, входящее в
выражение (154), можно записать в виде
PoUiUj. (156)
В общем случае, как показано в разд. 1.10, тензор потока количества
движения может включать также и изотропный член
4.6. Прослеживание луча в воздушном потоке
401
(Р - Ро) поэтому волны, которые создают среднее избыточное давление
второго порядка (что может быть справедливо для звуковых волн, так как
график зависимости давления от плотности обращен вогнутостью вверх),
могут вызывать дополнительное взаимодействие типа напряжения со средним
течением. В этой главе, однако, мы ограничимся средними течениями с малым
числом Маха и нулевой дивергенцией dVi/dXi. При этом изотропные
напряжения (с коэффициентом бtj) не могут совершать никакой работы против
градиента скорости dVjldxi, и поэтому взаимодействие с таким средним
течением полностью описывается напряжением Рейнольдса (156).
Кроме того, в этой главе мы ограничимся системами, в которых внешняя сила
(а именно сила тяжести) может либо не учитываться, как в звуковых волнах
(разд. 4.2), либо не имеет составляющей в направлении среднего течения;
таким образом, стратификация, допускаемая в теории внутренних волн,
совместима только с горизонтальными средними воздушными потоками, и в то
же время любые стационарные течения, которые могут взаимодействовать с
волнами в воде, должны быть горизонтальными. Поэтому для каждой
составляющей напряжения Рейнольдса (156), которая могла бы влиять на
мощность (154) вследствие неравенства нулю Vj, внешняя сила, действующая
в /-и направлении, равна нулю, так что локальная скорость изменения
величины р 0Uj в системе отсчета, движущейся
с локальным потоком, равна
д (р0Uj)ldt = -dpjdxp (157)
Тогда
РоЩ ^T^jPe (158)
и напряжение Рейнольдса (156) принимает значение
= Oj^kjli- (159)
Интересно, что это выражение для среднего потока количества движения
напоминает аналоги (112) и (113): чтобы получить средний поток количества
движения, мы убираем из выражения для среднего потока энергии /г
множитель, равный частоте, и вводим множитель, равный волновому
числу.
Итак, во всех этих случаях уравнение для скорости изме-
нения плотности волновой энергии в локальной системе отсчета (сумма (153)
и (154)) будет иметь вид
dWJdt = -д (WvUi)ldXi - сo^kjltdV)/дхь. (160)
Это уравнение можно записать также через скорости изменения вдоль луча:
dWT/dt = -Wr dUtldxi + W^1 dav/dt, (161)
26-01 100
402
4. Внутренние волны
где второй член получается из уравнения (150), записанного в системе
координат, движущейся с локальным средним потоком (так что У % = 0, a /j
= WvUi).
Уравнение (161) приводит к удивительно простому закону
d = - (И^со?1) dUi/dxi, (162)
