Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
постоянной вдоль луча, следует при этом, если: (i) выписать скорость
изменения величины (100) по времени при произвольных скоростях изменения
kt и xt в виде
daldt - (daldki) (dkjdt) + (da/dxt) (dx,ldt), (108)
а затем (ii) воспользоваться уравнениями (106) и (107), чтобы убедиться в
том, что для реальных скоростей изменения правая часть уравнения (108)
равна рулю.
Мы теперь сделаем краткое отступление по поводу аналогий с другими
областями исследований. Читатели, знакомые с классической динамикой,
могут узнать в уравнениях (106) и (107)
25*
388
4. Внутренние волны
характеристическую форму (симметричную, за исключением знака минус в
(106)) уравнений Гамильтона для консервативной динамической системы. Эти
уравнения записываются через функцию Гамильтона
П {Ph Р2" • • ч Рт ?1" ¦ ' ч Qn)i (109)
которая представляет собой полную энергию системы (кинети-
ческую плюс потенциальную), выраженную через обобщенные координаты qu g2,
. . ., qn и соответствующие обобщенные импульсы рг, р2, . . ., рп;
уравнения Гамильтона имеют вид
dpi/dt = -dH/dqi, dqjdt = дН!дрх (110)
для i = 1, 2, . . ., п. Уравнения (106) и (107) имеют точно
такой же вид при п = 3 и при
ki, хх и со, заменяющих рх, qx и Н. (111)
Более того, проверка с помощью уравнения (108) факта постоянства со вдоль
луча является точным аналогом проверки того обстоятельства, что для
любого решения уравнений движения (110) полная энергия Н остается
постоянной.
Одно, отчасти очевидное, следствие аналогии (111) состоит в том, что три
декартовы координаты хх, для "пакета" волновой энергии, движущегося вдоль
своего луча, соответствуют обобщенным координатам qx в динамической
системе; в самом деле, эти хх являются естественным выбором обобщенных
координат, описывающих положение волнового пакета. Два других менее
очевидных следствия состоят в том, что
волновое число kt соответствует обобщенному импульсу рх (112)
и что
частота со соответствует энергии Н. (ИЗ)
Однако читатели, знакомые с квантовой механикой, поймут утверждения (112)
и (ИЗ) как часть "принципа соответствия". В квантовой механике специально
подчеркивается тот факт, что частицы ведут себя подобно волнам, а именно
волнам, волновое число которых kt и частота со, умноженные на некоторую
постоянную Й, дают импульс и энергию частицы. И обратно, здесь мы
подчеркиваем, что волны ведут себя подобно частицам (движущимся вдоль
лучей); действительно, волновой пакет изменяет положение и волновое число
в соответствии с уравнениями (106) и (107), которые могут рассматриваться
как уравнения для "частицы", соотношение между энергией и импульсом
4.5. Общая теория прослеживания луча
389
которой в каждом положении точно соответствует соотношению между частотой
и волновым числом (дисперсионному соотношению) для волн.
Этим завершается краткое отступление, к которому в конце книги мы еще
сделаем небольшое примечание. Однако, может быть, следует отметить, что
система шести дифференциальных уравнений первого порядка (106) и (107),
описывающая движение волнового пакета вдоль лучей и рефракцию волновой
энергии, обладает многими практическими полезными свойствами уравнений
движения частицы, в частности возможностью быстро вычислить решения при
заданных начальных значениях xt и kt.
Существенное отличие настоящей теории от соответствующей теории для
одномерных неоднородных систем состоит в том, что уравнение
со = const вдоль луча, (114)
полученное выше из (108) и справедливое в равной степени для одномерных
систем (рис. 64), имеет различный смысл в этих двух случаях. В трехмерных
системах одно уравнение (114) никак не может заменить три уравнения
(106), описывающие рефракцию волновой энергии. В соответствии с этим
нельзя проследить луч, зная только его направление (уравнения (107)) и
используя правило (114). Это оказывается возможным для одномерных
неоднородных систем (разд. 3.8), где (107) и (114) представляют собой два
уравнения для двух неизвестных к и х. Однако для трехмерных систем
уравнений (107) и (114) недостаточно, поскольку они представляют собой
только 4 уравнения для 6 неизвестных kt и xt (i = 1, 2, 3). Таким
образом, в общем случае лучи определяются системой уравнений шестого
порядка (106) и (107), и эти уравнения, самое большее, можно свести к
системе пятого порядка, если использовать (114).
Следует также заметить, что уравнения (106) и (107) уже имеют такой вид,
который позволяет использовать стандартные машинные программы решения
обыкновенных дифференциальных уравнений, чтобы быстро получить их решения
при большом наборе различных начальных условий. В этих вычислениях
уравнение (114) может иметь огромное значение для проверки точности.
Прослеживание лучей имеет большое значение не только потому, что оно дает
информацию о пространственном распределении волнового вектора kt, но
также и потому, что вдоль лучей распространяется волновая энергия;
поэтому прослеживание лучей можно использовать для того, чтобы найти
