Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
практически не должно быть. Диссипация энергии происходит главным образом
внутри струи, и при необходимом вовлечении жидкости в струю имеет место
небольшое сопротивление со стороны любых границ, размеры которых намного
превышают ширину струи.
Звук, распространяющийся в узких трубах, таких, что основная диссипация
акустической энергии происходит в тонких пограничных слоях на стенках
трубы (разд. 2.7), генерирует совершенно иной тип потока. Распределение
средней силы вдоль трубы, описываемое законом (190), по-прежнему имеет
место, хотя соответствующее уменьшение энергии р на единицу длины дается
уже не формулой (189), а выражением
для трубы радиуса а. Однако эта сила, имея равномерное поперек трубы
распределение (191), не создает никакого потока:
Р = (2vco)V2 (с"а)-1
(201)
27-01100
F
a
в
Рис. 84. He слишком медленное течение, создаваемое в жидкости с
плотностью ро и вязкостью р сосредоточенной силой F для трех значений ро-
Рр-2: 35 (а), 314 (б). 3282 (в). Во всех случаях штриховая линия
изображает ось симметрии. Объемный расход в каждой трубке тока равен
расходу в самой внутренней трубке тока.
4.7. Стационарные течения, генерируемые затуханием волн
419
она автоматически уравновешивается противоположно направленным градиентом
среднего давления.
Поэтому течение генерируется только отклонением средней силы (182) в
пределах пограничного слоя от ее значения вне этого слоя. Мы изучим это в
специальных координатах, которые были использованы в разд. 2.7, чтобы
описать пограничный слой; итак, теперь z - расстояние от стенки, их -
расстояние вдоль трубы в направлении распространения.
Градиент d/dz является преобладающим в пограничном слое, поэтому не
удивительно, что
- р0<9 (uw)/dz (202)
оказывается там хорошей аппроксимацией осевой составляющей силы на
единицу объема (182). Действуя в этой узкой области, она порождает
стационарное течение, испытывающее сопротивление вязкого напряжения
сдвига, так что
ц du/dz = (ро uw) - (р 0uw)ex. (203)
Индекс ех здесь, как и в разд. 2.7, приписывается значениям, внешним по
отношению к пограничному слою, так что (203) означает, что вязкое
напряжение сдвига, оказывающее сопротивление среднему потоку, в точке
внутри пограничного слоя приравнивается суммарному воздействию напряжений
Рейнольдса, действующих между этой точкой и кромкой пограничного слоя.
Поэтому сдвиговое среднее течение в пограничном слое будет иметь скорость
2
U = V_1 j \-uw~ (uw)ex]dz. (204)
о
Мы вычислим ее для случая, когда осевая скорость и в звуковых волнах
имеет вид
и - иех {1 - ехР [-2 (гю/v)1/2]}, (205)
полученный в разд. 2.7. Тогда перпендикулярная стенке трубы скорость w в
пограничном слое будет определяться выражением
w - -i (со/с0) (ico/v)"V2uex (1 - ехр [-z (ico/v)1/2]}, (206)
так что дивергенция ди/дх + dw/dz не зависит от z (что необходимо, чтобы
сделать dp/dt постоянным поперек пограничного слоя).
27*
420
4. Внутренние волны,
Осредненное произведение действительных частей выражений (205) и (206)
равно
uw= - ~(<в/с0) (v/2co)1/2 [Мех{1 - exp[ - z(iw/v)1/2]}|2, (207)
откуда интеграл (204) может быть записан как
Z
и= |Иех12 (2с0 V2)~l j {1 - 11 - ехр [ - 2 (ico/v)1/2J |2} (co/v)1/2c?z.
о
(208)
Значение и у кромки пограничного слоя (где z (оз/v)1/2 велико) легко
находится в виде
Йех=Кх12 (4СоГ. (209)
Интересно, что при оценке выражения (204) у кромки пограничного слоя
кинематическая вязкость v, как показывает значение (209), исчезает.
Резюмируя, отметим, что силы в пограничном слое порождают ветер (209)
непосредственно вне этого слоя. Если суммарный расход через трубу
невозможен (как в случае звуковых волн, которые генерируются на закрытом
конце), градиент среднего давления должен быть как раз достаточен, чтобы
вызвать центральное обратное течение (с пуайзелевским распределением),
при котором не будет среднего переноса жидкости через любое поперечное
сечение. При этом среднее течение на расстоянии s от оси трубки
характеризуется параболическим распределением скорости
м = | иех |2 (4с0)-' [ - 1 + 2 (s/a)2]. (210)
Для пучка интенсивности / значение величины | иех |2 равно 2//(р0с0).
Поэтому максимальные скорости "звукового ветра" в узкой трубе имеют
величину
I (2p0*"2)-\ (211)
достигающую 4 мм/с при атмосферном давлении, когда / == = 103 Вт/м2
(интенсивность звука в пределах трубки 150 дБ).
Проведенные выше вычисления соответствуют настолько длинной трубе, что
обусловленное трением затухание позволяет пренебречь любыми волнами,
отражаемыми от дальнего конца. Другим предельным случаем является труба,
действующая как резонатор, возбуждаемый в некоторой системе стоячих волн.
При этом осевая скорость и имеет вид (205), где иех, за исключением
множителя ехр dent), является некоторой действителъ-
4.7. Стационарные течения, генерируемые затуханием волн
421
ной функцией х (вместо зависимости вида ехр (-ia>x/c0), характерной для
бегущих волн). Соответствующая скорость w определяется выражением
