Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
противодействует малому восходящему среднему перемещению жидкости.
Горизонтальная составляющая является при этом мощным источником
горизонтального течения.
424
4. Внутренние волны
Рис. 87. К вязкому затуханию внутренних волн. Движение жидкости, согласно
рис. 72, происходит в направлении самого крутого спуска на поверхностях
постоянной фазы. В осях (х0, у о, г0), для которых это направление
совпадает с осью zо и волновой вектор направлен по оси х0, скорость
жидкости имеет составляющие (0, 0, w0), а сдвиг равен -dw0/dxо- Поэтому
скорость диссипации энергии на единицу объема равна среднему значению
величины p. (dwo/dxo)2, где р - коэффициент вязкости. Полная волновая
энергия равна среднему значению величины р0w% (удвоенной кинетической
энергии) на единицу объема. Таким образом, отношение скорости диссипации
энергии к общей волновой энергии составляет уЩ, где v = р/р0 -
кинематический коэффициент вязкости. В первоначальных осях эта величина
принимает значение (219).
В лабораторных условиях, однако, нетрудно создать в ограниченном
резервуаре горизонтальные градиенты давления, которые уравновесят эту
горизонтальную силу. В таком случае дополнительные вертикальные
перемещения генерируют гравитационные восстанавливающие силы, которые
уравновешивают также и вертикальный градиент этого распределения
давления, и течение прекращается!
4.8. Метод стационарной фазы в трехмерном случае
Основная цель настоящей главы состоит в том, чтобы исследовать общие
свойства волн в анизотропных диспергирующих системах, описываемых
линейными уравнениями. Во вве-
4.8. Метод стационарной фазы в трехмерном случае
425
дении в анизотропную дисперсию (разд. 4.4) мы рассматривали системы,
которые однородны, но в других отношениях представляют собой системы
довольно общего типа. При изучении таких систем основное внимание
уделяется волнам, которые-по существу являются диспергирующими, так что в
каждом положении их приближенно можно считать синусоидальными с более или
менее четко определенным локальным волновым числом. В этом случае можно
определить фазовую функцию, свойства которой приводят к уравнениям,
описывающим траектории лучей и распространение энергии. В разд. 4.5-4.7
этот метод был обобщен сначала на случай неоднородных систем, а затем на
случай волн, взаимодействующих со средним течением.
Теперь самое время более детально исследовать природу анизотропной
дисперсии. Мы имеем в виду проанализировать сложное возмущение, которое
первоначально может совсем не иметь никакого сходства с синусоидальной
волной, однако по истечении времени можно ожидать, что его компоненты с
различными волновыми числами отделятся одна от другой (диспергируют). В
случае строго одномерного распространения нам удалось это сделать в разд.
3.7 при помощи анализа Фурье, примененного для представления возмущения в
виде линейной комбинации синусоидальных компонент с последующей
асимптотической оценкой для больших t методом стационарной фазы.
Настоящий раздел аналогичным образом использует трехмерный анализ Фурье и
трехмерную теорию стационарной фазы для того, чтобы определить
асимптотическое поведение волн, генерируемых сложным начальным
возмущением в анизотропной системе, описываемой линейными уравнениями.
Однако, как и в разд. 3.7, необходимость использования разложения Фурье
ограничивает нас однородными системами (обычно описываемыми уравнениями с
постоянными коэффициентами), так что каждая фурье-компонента
(синусоидальная волна постоянной амплитуды) по отдельности может быть
решением уравнений движения.
В рамках этого ограничения мы убедимся, что указанный метод
удовлетворительно описывает те ранние стадии дисперсии,, к которым нельзя
было применить метод разд. 4.4, и соответственно дает результаты,
согласующиеся с траекторно-лучевы-ми методами. Эти факты, возможно,
подсказывают необходимость смешанного подхода к исследованию дисперсии
первоначально сложного локализованного возмущения в неоднородной системе:
метод настоящего раздела может объяснить развитие волн на ранних стадиях
дисперсии (без учета неоднородно-
426
4. Внутренние волны.
•сти, имеющей место в ограниченной области, занимаемой волнами на
протяжении этих стадий), а дальнейшее развитие волн можно проследить при
помощи теории луней в неоднородных системах (разд. 4.5).
В качестве иллюстрации мы применим общую теорию, чтобы проанализировать,
как сложное начальное возмущение в устойчиво стратифицированной жидкости
диспергирует в виде внутренних гравитационных волн. Мы получим также
аналогичные результаты для двумерного распространения и используем их,
чтобы продемонстрировать некоторые свойства (предсказанные в гл. 3)
дисперсии возмущения штормового типа на поверхности океана.
Математически мы будем иметь дело с начально-краевыми задачами (другой
тип задач, когда волны генерируются источником, осциллирующим с
постоянной частотой, будет рассматриваться в разд. 4.9). Мы предположим,
