Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
что синусоидальное колебание
q = а ехр [i (cot - kjXj)] (221)
с постоянной амплитудой а является решением уравнений движения, когда
выполняется соотношение однородной дисперсии
со = со (&Ц к2, А"). (222)
Тогда трехмерный интеграл Фурье
ОО оо оо
j j Q°(ki' *2, A3)exp{i[0)(Ai, к2, k3)t -
- оо -оо -оо
- kjXj]} dky dk2 dk3 (223)
представляет довольно общее решение этих уравнений, принимающее при t = 0
начальное значение
оо оо оо
Чо ^21 ^з) "~2~ J ^ ^ Qo(k" к2, к3) ехр ( ikjXj) dk^dk2dk3,
- оо -оо -оо
(224)
Мы исследуем асимптотическое поведение интеграла (223) при •больших t в
случае, когда начальное возмущение сосредоточено в ограниченной области.
В выражения (223) и (224) включены множители 1/2 потому, что в правых
частях этих выражений каждое волновое число (ки к2, к3) фактически
дублируется, появляясь и как (-ки -к2, -к3). Поэтому в любом практическом
приложении целесообразно работать только с половиной пространства
волновых
4.8 Метод стационарной фазы в трехмерном случае
427
чисел (так же как в разд. 3.7 мы работали с половиной О < к < < оо
одномерного пространства волновых чисел), причем можно выбрать любую
половину, которая исключает (-klt -к2, -к3) каждый раз, когда включает
(ки к2, к3). Тогда в силу того, что обратное преобразование Фурье
"о (^-и &2" к3) =
ОО оо ОО
= -^-л"3 j j Qo(xn хз) ехР (ikjXj) dxx dx2 dx3 (225)
- оо -оо -ОО
имеет Q0 (-ки -к2, -к3) в качестве своего комплексно сопряженного
значения, q0 равно действительной части интеграла (224), взятого только
по выбранному полупространству. Например, в случае внутренних волн удобно
использовать полупространство - оо < к3 -< 0; тогда в соответствии с
договоренностью о том, что любая физическая величина, приравниваемая
комплексному выражению, дается его действительной частью, получаем
Оо оо 0
q0- [ j j (?о (кц к2, к3) ехр (- ikjXj) dk^ dk2 dk3. (226)
- OO -oo-oo
Те же самые замечания справедливы и для интеграла (223), где всегда можно
принять, что
и (-к1} -к2, к3) - -05 (/с*, к2, к3), (227)
поскольку комплексно сопряженное значение выражения (221) также является
решением.
Нужно также заметить, как и в разд. 3.7, что при заданных къ к2 и к3
дисперсионное соотношение не обязательно имеет только одно решение (222)
для 05. Например, для внутренних волн, удовлетворяющих зависимости (24),
оно имеет два решения, равные по величине, но противоположные по знаку;
действительно, для волнового числа в полупространстве -оо <; <С к3 <; 0
решения с положительным и отрицательным значениями со соответствуют
распространению волновой энергии вверх и вниз соответственно. В конце
этого раздела мы докажем, что для такой системы начальным условиям общего
вида всегда можно удовлетворить суммой линейной комбинации (223) волн ¦с
положительной 05 и аналогичной комбинации волн с отрицательной 05 вместе
(в общем случае) с добавлением стационарного движения, которое, имея
чисто горизонтальные и бездивергент-ные скорости, не может возбуждать
никаких восстанавливающих сил. (Пока мы не будем учитывать такую
стационарную
428
4. Внутренние волны
составляющую.) При асимптотической оценке каждого из членов (223),
соответствующих двум различным решениям (222) дисперсионного соотношения,
возникают идентичные математические проблемы, и при изложении теории мы
можем остановиться только на одной из них (например, на решении для
внутренних волн с положительным значением со).
Излагаемый ниже метод является непосредственным обобщением метода разд.
3.7: мы запишем фазу как 2ф, где
Ф №i, к2, ка) - со к2, ка) kjXjlt, (228)
тогда (223) примет вид
оо со оо
g==T j j j & кг, к3) ехр [Щ (ки к2, к3)] dkt dk2 dk3.
- оо -со - со
(229)
Это выражение мы и хотим оценить, когда t становится большим при
фиксированном значении Xjlt, т. е. в точке, движущейся от начала
координат с постоянной скоростью. Мы предположим, что со, а
следовательно, и ф являются аналитическими функциями своих аргументов.
Заметим, как и ранее, что Q0, будучи обратным фурье-преобразованием (225)
функции, которая стремится к нулю вне области начального возмущения,
также будет аналитической функцией.
Для оценки (229) мы немного сдвинем область интегрирования параллельно
мнимой оси так, чтобы там, где это возможно, мнимая часть ф стала равной
по меньшей мере +6. Тогда модуль экспоненты в (229) будет (самое большее)
равен ехр (-?б), в силу чего интеграл будет экспоненциально малым для
больших t.
Для этой цели можно ввести деформацию, при которой
к] переходит в к} gt (къ /с2, к3) гб (230)
и мнимая часть функции ф становится приближенно равной
(5фIdkj) gjb. (231)
В любой области интегрирования, где величина вектора (5фIdkj) имеет
положительную нижнюю границу (так что избегаются стационарные значения
фазы ф), величина gj, необходимая для того, чтобы выражение (231) было
равно по меньшей мере +6, ограничена сверху.
Это означает прежде всего, что там, где ф не имеет стационарных значений,
весь интеграл (229) экспоненциально стремится к нулю при больших t. Более
