Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
энергии) являются прямыми обобщениями свойств скалярной групповой
скорости, присущих изотропным системам. Наоборот, в следующем разделе мы
покажем, что волновая дисперсия в неоднородных анизотропных системах
проявляет свойства, которые ни в каком случае не являются простыми
обобщениями свойств изотропного поведения.
4.5. Общая теория прослеживания луча
Мы подходим сейчас к центральному разделу всей книги: разделу,
описывающему общую теорию прослеживания луча в неоднородных анизотропных
диспергирующих волновых системах. Этот раздел центральный потому, что:
(i) он содержит как частные случаи многое из того, о чем уже шла речь
выше: теорию неоднородных одномерных систем (разд. 2.6 и 3.8), теорию
прослеживания луча в геометрической акустике (разд. 1.11 и 2.14) и теорию
однородных систем в изотропных (разд. 3.6) и анизотропных случаях (разд.
4.4); (п) в нем излагается довольно просто общая теория, которая находит
много приложений к различным волновым системам, рассматриваемым в
настоящей главе и в первой части эпилога; кроме того, эта теория
развивается дальше, включая взаимодействие с установившимися течениями
(разд. 4.6 и 4.7); она содержит некоторую дополнительную информацию,
которую может дать анализ Фурье (разд. 4.8-4.11), и учет нелинейных
эффектов (вторая часть эпилога).
Настоящая теория по аналогии с разд. 4.4 исследует волны, которые стали
настолько диспергированными, что в них волно-
25-01100
386
4. Внутренние волны
вой вектор медленно меняется в масштабе длины волны. В однородной системе
это дает возможность использовать для таких волн (уравнение (76)) обычную
форму
q = Q (xl5 х2, х3, t) ехр [га (хг, х2, х3, f)], (98)
которая с высокой точностью является локально синусоидальной; фаза а в
(98) удовлетворяет уравнениям
da/dxi - -kit daldt = со, (99)
а локальная частота со и волновое число kt связаны дисперсионным
соотношением (81). Та же самая форма (98) для этих волн остается
пригодной и в неоднородной системе при условии, что свойства жидкости,
определяющие дисперсионное соотношение (например, N и с0), меняются в
пространстве тоже медленно в масштабе длины волны. В этом случае волны
локально будут приближенно синусоидальными с волновым числом kt и
частотой со, которые определяются соотношениями (99), однако со задается
для данного kt в виде, который также меняется с координатой xt;
фактически дисперсионное соотношение принимает вид
со = со (klt к2, к3, хъ х2, х3). (100)
Кроме того, локальная скорость распространения энергии должна иметь
приближенно значение
Uj = dw/dkj, (101)
которое, как мы только что показали, она принимает для точна
синусоидальных волн. Выражение (101) имеет, однако, смысл, несколько
отличный от (85); в силу (100) оно представляет собой скорость изменения
со по kj при сохранении постоянными не только других компонент волнового
числа, но также и положения (xj, х2, х3). В этом фиксированном положении
для волн, которые приближенно являются синусоидальными и удовлетворяют
локальному дисперсионному соотношению, выражение (101) дает с хорошим
приближением скорость распространения энергии.
В неоднородной системе мы можем ожидать (разд. 3.8), что волновая
энергия, распространяющаяся с групповой скоростью (101), будет испытывать
рефракцию, т. е. изменения волнового числа вследствие неоднородности.
Наоборот, частота со должна оставаться неизменной; действительно, анализ
Фурье показывает, что в любой системе, удовлетворяющей линейным
уравнениям, коэффициенты которых не зависят явно от времени, не может
происходить энергообмена между различными частотами. Эти ожидания
подтверждаются следующим простым анализом.
4.6. Общая теория прослеживания луча
387
Используя (99), чтобы записать (100) в виде
da/dt = со (-да/дхи -daldx2, -daldx3, х1г х2, х3), (102)
мы сначала продифференцируем это уравнение по xt. Результат представляет
собой почти то же самое, что и уравнение (83), но включает один
дополнительный член; наряду с тремя членами, содержащимися в (83) и
появляющимися вследствие изменения кг, к2 и к3 при изменении xt,
существует дополнительный член daldxu появляющийся вследствие прямой
зависимости со от xt при постоянных кх, к2 и к3. Таким образом,
Э2а _( баз \ ( д2а \ до ,,0оч
dxi dt V dkj j V dxi dxj ) dxi ' '
С учетом (99) и (101) уравнение (103) можно записать в виде
(104)
Здесь левая часть представляет скорость изменения kt по времени в точке,
движущейся с групповой скоростью Uj, т. е. в точках, удовлетворяющих
уравнениям
dxjldt = Uj. (105)
Вдоль таких траекторий, следовательно,
dkjdt - -да/dx г. (106)
Уравнение (106) определяет рефракцию волновой энергии, т. е. скорость
изменения волнового числа вдоль траекторий (105), проходимых со скоростью
распространения энергии Uj, одним словом, вдоль лучей.
Уравнения, определяющие эти в общем случае криволинейные лучи, примут
более симметричную форму, если записать (105) в виде
dxjdt = +9со /dkj. (107)
Доказательство того, что частота со, как мы и ожидали, остается
