Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
захваченных волн (разд. 4.3). Захваченные волны распространяются по
горизонтали, поэтому дисперсия изотропна; для данной частоты наибольшая
скорость распространения волн обнаруживается в "волнообразных"
колебаниях, которые являются естественным обобщением гравитационных волн
на поверхности разрыва.
376
4. Внутренние волны
Другой метод исследования, применимый в том случае, когда N (z) медленно
меняется в масштабе длины волны, основывается на трехмерном обобщении
понятия групповой скорости, развитого в гл. 3. Этот второй метод, который
будет описан полностью в разд. 4.5, используется довольно широко; в самом
деле, даже при пиковом распределении частоты N (z) он может дать
поразительно хороший учет (см. разд. 4.11) всех колебаний захваченных
волн со скоростями распространения, меньшими, чем для "волнообразных"
колебаний; кроме того, он еще более широко применяется в случаях медленно
меняющихся градиентов плотности.
Читатели, которым природа изотропной дисперсии уже знакома, могут тем не
менее обнаружить совершенно неожиданные свойства вектора групповой
скорости для внутренних волн и других анизотропных систем. По этой
причине (как и в гл. 3) мы начинаем общее изложение в следующих разделах
с особенно простого анализа некоторого типичного случая, а именно
однородной системы с постоянным N, для которой в разд. 4.1 были получены
синусоидальные решения типа плоских волн (23).
Причины, по которым особое внимание уделяется синусоидальным волнам, те
же, что и в разд. 3.6. В частности, хотя мы и откладываем до разд. 4.8
трехмерный анализ Фурье генерирования волн локальным возмущением сложной
формы, мы можем анонсировать выводы этого раздела, отмечая, что различные
компоненты в виде синусоидальных плоских волн через некоторое (довольно
продолжительное) время обнаруживаются в совершенно различных местах.
Поэтому волны, наблюдаемые в каком-то определенном месте, приближенно
могут считаться синусоидальными.
В случае постоянного N мы видели (разд. 4.1), что волны определенной
частоты со ^ N имеют поверхности постоянной фазы, образующие определенный
угол arc cos (co/iV)] с вертикалью. Если бы мы предположили, что волны,
которые локализованный источник излучает в любом направлении, имеют свои
поверхности постоянной фазы под прямым углом к этому направлению, то
следовало бы ожидать, что мы обнаружим волны частоты со в направлениях,
образующих этот угол arc cos (co/iV) с горизонталью... Однако из гл. 3
нам известно, что такие грубые выводы по аналогии с результатами,
полученными при отсутствии дисперсии, ненадежны, а в данном случае мы
покажем, что едва ли может быть что-либо более ошибочное! Первый признак
того, что это так, уже был дан результатом (конец разд. 4.1), согласно
которому поток волновой энергии направлен параллельно поверхностям
постоянной фазы. Это означает (и, как мы увидим, правильно), что волны,
обнаружен-
4.4. Введение в анизотропную дисперсию
37Т
ные в определенном направлении от источника, имеют свои поверхности
постоянной фазы, параллельные этому направлению; поэтому волны частоты со
находятся в направлениях, образующих угол arc cos (to/TV) с вертикалью.
Настоящий раздел имеет тот же смысл для анизотропной дисперсии, что и
разд. 3.6 и 3.8 для изотропной дисперсии. Мы начнем (по возможности
просто) с вывода свойств вектора групповой скорости при помощи метода,
пригодного для более поздних стадий дисперсии, когда волны со значительно
различающимися волновыми числами далеко отстоят одна от другой; тогда они
так сильно диспергированы, что между ними волновой вектор медленно
меняется в масштабе длины волны. Указанный метод применим для любой
однородной анизотропной системы; это значит, что частота может зависеть
произвольно от величины и направления локального волнового вектора, но не
может отдельно зависеть от положения. (В силу последнего предположения
для внутренних волн, удовлетворяющих дисперсионному соотношению (24),
требуется, чтобы N было постоянным.) Мы закончим проверкой (как и в разд.
3.8), что групповая скорость, выведенная таким способом, представляет
собой то же самое, что и скорость распространения энергии для
синусоидальных волн.
Простой метод анализа, подобный методу, использованному в разд. 3.6,
основывается на определении локальной фазы а. Действительно, так как
предполагается, что модуль волнового вектора (k, I, т) меняется медленно
(лишь на малую долю своей величины 2п!к на одной длине волны к),
физическая величина q в волнах может быть представлена в приближенной
синусоидальной форме
Ч = Q (х, У> z, 0 ехр [га (х, у, z, *)]; (76)
здесь Q - положительная медленно меняющаяся амплитуда, а а (х, у, z. t) -
фаза. В фиксированной точке (х, у, z) уравнение (76) требует, чтобы эта
фаза увеличивалась на 2л на одном периоде волны, так что daldt может
рассматриваться как локальная частота со в радианах в секунду. Таким же
образом при заданном времени а показывает убывание по х со скоростью,
