Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
равной к (составляющей локального волнового вектора по оси х) в радианах
на метр. Аналогичные результаты получаются для у и z, что дает
да/дх = -к, да/ду = -I, да/dz = -т, daldt = со. (77)
Уравнения (77) для а гарантируют, что локально волна имеет примерно
синусоидальную форму (23). Действительно, вблизи некоторого положения
(х0, у0, z0) и в некоторый момент-
4. Внутренние волны
t0 фазовая функция почти линейна: а (х, у, z, t) " а (х0, у0, z0, t) - к0
(х - х0) -
- (У ~ У о) - m0{z - z0) + <d0 (t - t0)\ (78)
здесь -к0, -10, -т0 и со0 являются значениями производных (77) в точке
(х0, yQ, z0, t0). Таким образом, локально в выражении (76) с медленно
меняющейся фазой а (х, у, z, t) величина q почти пропорциональна ехр [г
(со0t - k0x - l0y - - m0z)], как в синусоидальной плоской волне.
Когда производные (77) фазовой функции а удовлетворяют дисперсионному
соотношению
со = ю (k. I, /те), (79)
определяющему локальную частоту со как функцию от величины и направления
локального волнового вектора (к, I, т), мы можем вывести значение и
основные свойства вектора групповой скорости в "двух строчках" (уравнения
(83) и (84) ниже). Для внутренних волн дисперсионное соотношение (79)
принимает несколько специальную форму (24), которая зависит только от
направления, а не от величины (k, I, /те), но в дальнейшем мы найдем
много примеров более общей зависимости. В каждом случае фаза а
определяется таким образом, что одна определенная физическая величина q
имеет свои "гребни" (максимумы) там, где а - величина, кратная 2я;
некоторая другая физическая величина может иметь свои максимумы при
других значениях фазы, но всегда при некотором фиксированном положении в
цикле (например, во внутренних волнах вертикальное перемещение ? или
избыточная плотность ре имели бы свои максимумы там, где а - я/2 является
величиной, кратной 2л).
Анализ, который будет дан сейчас (а обобщен в следующем разделе)
аналогичен анализу, проведенному в разд. 1.10, в том смысле, что его
легче всего будет провести, если воспользоваться индексными
обозначениями. Поэтому, когда мы описываем анизотропные волны в общем
случае, мы используем координаты (#!, х2, х3) и волновой вектор (кг, к2,
к3), а также считаем, что по индексу, встречающемуся дважды в любом члене
уравнения, автоматически производится суммирование от 1 до 3. Только в
том случае, когда в качестве иллюстрации мы используем внутренние волны
(для которых вертикальное направление z является особым), мы снова
возвращаемся к координатам (х, у, z).
В индексных обозначениях фаза а может быть записана как а (хх, z2, х3,
t), причем
dafdxt = -kt, да Idt = со, (80)
•4.4. Введение в анизотропную дисперсию
379
¦а дисперсионное соотношение
со = со (ки к2, к3) (81)
принимает вид
daldt = со (-да/дх1, -да/дх2, -да/дх3). (82)
Тогда "двухстрочечное" доказательство свойств групповой скорости
начинается с дифференцирования этой функции со трех переменных по xt. Это
дает
д2а _ / доз \ / д2а \ то,
dxi dt \ dkj J V dxt dxj I ' ' 1
тде, согласно договоренности о суммировании, правая часть представляет
сумму трех членов с / = 1, 2 и 3. Эти члены представляют собой скорость
изменения со {к1, к2, к3), обусловленную скоростями изменения кг, к2 и к3
соответственно, при изменении xt (с сохранением других координат и
времени постоянными). В силу равенств (80) уравнение (83) можно записать
в виде
^Г + и^ = ° <84>
где
U, = dto/dkj (85)
определяется как вектор групповой скорости.
Уравнение (84) является трехмерным эквивалентом известного уравнения
dk/dt + Udkldx = 0 для одномерных систем. Его интерпретация аналогична:
оно означает, что волновой вектор кг постоянен при изменениях,
ччовлетворяющих уравнению
dxjldt = U j, (86)
Как и в разд. 3.6, мы можем представить себе наблюдателя, позволяющего
точке (х1, х2, х3), за которой он следит, двигаться
согласно уравнению (86), т. е. двигаться с групповой
скоростью Uj\ тогда уравнение (84) означает, что он будет всегда
наблюдать волны с одним и тем же волновым числом kt. Более того,
уравнения (81) и (85) показывают, что при постоянном kt групповая
скорость U} также постоянна. Таким образом, траектория (86) обязательно
является прямой
X) - Ujt = const, (87)
Движение вдоль которой происходит с постоянной скоростью Uj.
Для однородных систем основное положение, касающееся групповой скорости
Uj, было уже получено. Волны с заданным волновым вектором kt (величина
которого равна 2и/А,, а направ-
380
4. Внутренние волнъь
ление перпендикулярно поверхностям постоянной фазы) находятся в точках,
движущихся с постоянной скоростью Uj вдоль прямолинейных траекторий (87),
причем различным волновым числам соответствуют различные траектории.
Траектории (87) в трехмерных системах называют лучами; это слово уже
использовалось в гл. 1 и 2 для подобных прямолинейных траекторий, вдоль
которых распространяется звуковая энергия в однородной акустической
среде. В самом деле, лучи в недиспергирующей системе представляют собой
