Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
значения к2 и т. д.
Наибольшая горизонтальная скорость распространения волн со /к получается
при наименьшем волновом числе к - к0. Соответствующее распределение
вертикального массового расхода Qо (z) положительно для всех z. Это
означает, что вся область термоклина поднимается и опускается в
одинаковой фазе; при этом говорят, что она совершает "волнообразные"
('sinuous') колебания. Попутно следует заметить, что волновое число к0
меняется вместе с со; эти горизонтально распространяющиеся
24*
372
4. Внутренние волны
волны, следовательно, проявляют изотропную дисперсию, определяемую
групповой скоростью U = [к'0 (со)]-1 в соответствии с общей теорией,
изложенной во второй части гл. 3.
Значительно меньшая скорость распространения волн получается при к = кг.
Соответствующее распределение Q1 (z) меняет знак в середине области
термоклина. Колебания в этом случае называют варикозными: там, где
поднимается верхняя часть термоклина, нижняя часть опускается, и
наоборот; таким образом, область термоклина меняется по толщине. Все
более медленные колебания с к = к2, к3 . . . являются все более сложными;
для каждого из них групповая скорость равна [/4 (со)]"1.
Читатели, знакомые с квантовой механикой, могут заметить, что уравнение
(71) похоже на уравнение Шредингера
[h2i(2M)] ajj" (z) + [Е - V (z)] ф (z) = 0, (72)
которому удовлетворяет волновая функция ф (z) для частицы с массой М и
энергией Е в "потенциальной яме" V (z). Для данного энергетического
уровня между верхом и дном этой ямы возможно существование аналогичной
бесконечной последовательности "состояний" захваченных волн для
возрастающих значений массы М. Чаще физики полагают М фиксированным и
устанавливают последовательность энергетических уровней Е, для которых
существуют захваченные волны, хотя такая последовательность может быть
только конечной. Следует заметить, что последняя процедура возможна и для
уравнения (71): она соответствует нахождению последовательности частотных
уровней со0, сщ, . . . для фиксированного к, где to0 {к), например,
является просто функцией, обратной к к0 (со).
В предельном случае чрезвычайно крутого термоклина, разделяющего области
с малым или нулевым градиентом плотности, внутренние волны при
"волнообразной" моде к = к0 становятся идентичными волнам на разрыве
плотности, упомянутым в начале этой главы. Чтобы это понять, заметим, что
искомые решения уравнения (71) должны быть пропорциональными ехр (kz)
ниже этого слоя и ехр (-kz) выше его. Поэтому Q'/Q должно изменяться от +
& до -к в пределах слоя, а для моды к = к0 это изменение должно быть
монотонным убыванием от +к до -к. Если толщина слоя мала по сравнению с
1/к, то это распределение Q'/Q может вызывать только малые
пропорциональные изменения Q. Поэтому, согласно уравнению (71), изменение
Q'/Q приблизительно равно интегралу по толщине слоя от Q"/Q, а именно
' -к2\ {оГ2 [TV (z)]"2-1} c7z ж -/с2со~2 j [N (z)]z dz, (73)
4.3. Внутренние волны в океане и атмосфере
373
где интеграл от 1 равен толщине слоя, которой уже пренебрегли по
сравнению с 1 Ik. Приравнивая (73) приращению -2к, обусловленному
уменьшением от +А- до -к, и используя (12), мы выразим квадрат частоты
через плотности рх и р2 выше слоя и ниже его:
(r)2 = 4"^ j Po(z)/Po(z)] dz=-^gkln(p2,/pl). (74)
Интересно, что выражение (74), основанное на приближенной теории
внутренних волн, очень близко к точному значению (3): легко проверить,
что ошибка имеет порядок куба разности плотностей, т. е. (р2 - р^3. Это
показывает, что даже чрезвычайно большие локальные значения р" (z)/p0 (z)
не должны нарушить точности приближения Буссинеска при условии* что общее
относительное изменение плотности остается малым.
Приведенное выше обсуждение внутренних волн в океане касалось тех волн
сравнительно высокой частоты (с периодом не свыше 30 минут), которые
имеют тенденцию оказаться захваченными вблизи термоклина. Мы, однако,
должны заметить, что существуют и волны намного более низких частот. Эти
волны более свободно распространяются через толщу океана и вообще
проявляют большее сходство с внутренними атмосферными волнами, которые
будут описаны ниже. Об их роли в обмене количеством движения между
течениями на разных уровнях будет сказано в разд. 4.6.
Атмосфера во многом отличается от океана в отношении внутренних волн.
Прежде всего, по мере увеличения высоты плотность уменьшается во много
раз (почти беспредельно).. Тем не менее в силу того, что [¦-(z)/p0 (z)]
принимает значения в интервале от 0,08 до 0,16 км-1, большинство
внутренних волн (с длинами волн вплоть до 1 или 2 км) достаточно хорошо
удовлетворяет условию (52), при котором они совершенно' не связаны со
звуковыми волнами. Только в одном важном случае, который будет
обсуждаться в разд. 4.13, существует очень сильная связь между
внутренними гравитационными волнами и звуковыми волнами; это происходит
там, где возмущения давления распространяются горизонтально таким
