Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Т и %. Изменения температуры и солености, инициированные на поверхности,
могут часто вызывать неустойчивость в пределах верхнего слоя океана,
который поэтому хорошо перемешивается. В таком хорошо перемешанном слое
(перемешиванию которого часто помогают поверхностные волны) значение N
(z) может быть практически равным нулю (потому что Т0 и Хо почти
постоянны). Ниже этого слоя (толщина которого имеет порядок 102 м) может
существовать область резкого перехода, называемая термоклином, где с
увеличением глубины температура резко падает, а соленость может несколько
увеличиваться. В термоклине N (z) принимает
4.3. Внутренние волны
океане и атмосфер>
369
та N.
довольно большие значения, порядка 10~2 с-1 или больше, уменьшаясь до
обычных положительных значений на больших глубинах (рис. 74).
При этих условиях внутренние волны могут оказаться захваченными областью
термоклина. В разд. 4.1 мы установили, что N (z) можно рассматривать как
наибольшую возможную частоту локальных колебаний. Поэтому, если бы
некоторое колебательное вынуждающее воздействие имело частоту со,
находящуюся в интервале наибольших значений N на рис. 74, то можно было
бы ожидать, что оно вызовет колебания только в тонком слое, где N {z) ^
со. Эти колебания оказались бы захваченными этим тонким слоем и могли бы
распространяться только горизонтально.
Исследование, основанное на уравнении (22), показывает, что эти ожидания
в основном оправдываются, хотя возмущение все-таки проникает немного и в
область, где Лг (z) < со. Уравнение (22) имеет решения
q = Q (z) ехр U (юt - /сх)], (70)
представляющие волны, распространяющиеся горизонтально в направлении х со
скоростью юIk при условии, что
со2Q"(z) + к2 {[N{z)Р - ю2} Q(z) = 0. (71)
24-01100
370
4. Внутренние волны
(Для упрощения анализа мы исключаем зависимость от координаты у; заметим,
однако, что (при надлежащем выборе оси х) в виде (70) можно записать
волны, распространяющиеся в любом горизонтальном направлении.)
Уравнение (71) имеет именно тот вид, который нужен для представления
захваченных волн. Всюду, где N (z) >¦ со, это уравнение имеет вид,
аналогичный уравнению простых гармонических колебаний; оно,
действительно, должно иметь "волнистые" решения, везде обращенные
вогнутостью к оси z, так как Q" обязательно имеет знак, противоположный
Q. С другой стороны, там, где N (z) << со, Q" обязательно имеет тот же
самый знак, что и Q, и решения ведут себя как экспоненты (возрастая или
убывая). Захватываться будут те волны, для которых Q (z) экспоненциально
убывает на обеих сторонах интервала z, где N (z) > со.
В курсах теории дифференциальных уравнений показывается, что любое
уравнение вида (71), где N (z) > со только в одном интервале значений z,
имеет указанные решения типа захваченных волн для значений к, образующих
некоторую возрастающую последовательность к0, кг, к2, .... Более того,
график решения Q = Qn (z), соответствующего к = кп, пересекает ось точно
в п точках (каждая из которых, согласно (71), является точкой перегиба).
Мы опустим детали этого классического анализа и приведем только (на рис.
75) наиболее существенные доводы, доказывающие существование такой
последовательности. В области N (z) > со, где решение обращено
вогнутостью к оси z, значение к определяет, насколько резко возрастает
его кривизна при перемещении от этой оси, что в свою очередь определяет
степень его "волнистости". Но любое решение, экспоненциально убывающее
при больших отрицательных z (подобно поверхностным волнам гл. 3), должно
достигать точки перегиба там, где N (z) становится равным св. Заметим,
что все такие решения должны отличаться одно от другого постоянным
целочисленным множителем и, следовательно, иметь вполне определенное
значение отношения Q'{z)!Q(z) в указанной точке перегиба. Возникает
вопрос, будет ли для такого решения, когда оно достигнет другого конца
интервала, где N (z) > со, достигаться значение Q'(z)!Q(z), нужное для
того, чтобы соответствовать решению, экспоненциально убывающему, когда z
растет за пределами этого интервала. Для различных значений к,
определяющих степень "волнистости" решения (увеличение кривизны при
удалении от оси), выполнить это оказывается возможным:
(i) при отсутствии пересечений с осью для небольшого по величине значения
kQ, (ii) при одном пересечении для значительно
4.3. Внутренние волны в океане и атмосфере
371
Qaiz)
Рис. 75. Графики решений уравнения (71), стремящихся к нулю при больших z
(положительных или отрицательных). Штриховые прямые выделяют область N
(z) > со "волнистых" решений, обращенных вогнутостью к оси z. При помощи
такого "волнистого" решения, имеющего 0, 1, . . ., пересечений с осью,
для определенных значений к, равных к0, Лгх, . . можно "склеить" одно из
решений, стремящихся к нулю при больших отрицательных z, с одним из
решений, стремящихся к нулю при больших положительных z.
большего значения ки (iii) при двух пересечениях для еще большего
