Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
d,'. Введение в анизотропную дисперсию
.383:
= юА./(2я), которая для этих волн равна
с = ШК/(2л)] cos 0. (94>
Заметим, что направление этого перпендикулярного движения можно легко
предсказать: уравнение (91) показывает, что вертикальная составляющая
групповой скорости всегда имеет знак, противоположный знаку вертикальной
составляющей волнового вектора. Внутренние волны поэтому подчиняются
парадоксальному правилу, согласно которому распространение энергии
происходит с направленной вверх составляющей, когда движение гребней
имеет составляющую, направленную вниз, и наоборот. На рис. 76, например,
движение гребней, перпендикулярное им самим, направлено вниз в верхней
половине снимка, где энергия распространяется вверх, и направлено вверх в
нижней половине, где лучи направлены вниз. В любой момент времени можно
видеть только одну или две длины волны, так как, когда гребни пройдут
совсем небольшой путь, они уже-покинут андреевский крест (размеры
которого сравнимы с размерами цилиндра), в пределах которого заключена
вся энергия.
Величина групповой скорости (91) определяется выражением.
U = N | т | (k2 + Р + т2)"1 = [7Ш(2л)] sin 0. (95)
Синусоидальная зависимость от угла 0 между поверхностями постоянной фазы
и вертикалью означает, что групповая скорость стремится к нулю для тех
вертикальных колебаний жидкого столба, которые могут иметь место при
самой частоте-Вяйсяля - Брента. Наоборот, любые очень медленные колебания
при со <§; N вызывают почти горизонтальные движения, энергия которых
распространяется почти горизонтально с групповой скоростью NX/(2л),
пропорциональной расстоянию А., между соседними (почти горизонтальными)
гребнями.
Пропорциональность групповой скорости величине А, при* любом заданном 8
означает, что, когда локализованное возмущение ограниченной
продолжительности генерирует волны различных длин А, и частот со, волны,
которые будут обнаружены в определенном направлении 0 через время t
(конечно, с частотой со = N cos 0), должны разойтись пропорционально
длине волны; действительно, волны с длиной А, пройдут расстояние (NXt/2n)
sin 0, пропорциональное самой величине А,. Соседние гребни находятся на
расстоянии А,; поэтому угол между гребнями равен
[2H/(Nt)] cosec 0 (96)'
с вершиной в источнике. Тот факт, что этот угол не зависит-от А,
согласуется с тем, что гребни радиальны. Заметим также"
¦384
4. Внутренние волны
Рис. 77. Шлирен-фотографии волн, генерируемых непродолжительным
горизонтальным перемещением кругового цилиндра через 10 секунд (а) и
через 25 секунд {б). Заметим, что угол между гребнями уменьшается со
временем и в каждый момент времени принимает наибольшее значение для
ближайших к вертикали гребней. (Фотография Т. Стивенсона.)
что угол (96) между гребнями уменьшается со временем, начиная с момента,
когда возникло возмущение, и что в каждый момент времени он принимает
наибольшее значение для ближайших к вертикали гребней. Рис. 77
демонстрирует все эти свойства, показывая волновую картину в два
различных момента времени после того, как волны первоначально были
возбуждены непродолжительным перемещением цилиндра в стратифицированном
солевом растворе. Для более детального ознакомления с количественной
стороной анализа этого явления надо обратиться к разд. 4.8.
Мы завершаем этот раздел доказательством того, что для синусоидальных
волн
q = а ехр [j (соt - к1х1 - к2х2 - к3х^)] (97)
в любой однородной анизотропной системе групповая скорость (85) является
скоростью распространения энергии. Достаточно доказать, что равны их
составляющие в направлении оси хх; очевидно, что для этой самой общей
системы доказательства равенства составляющих по х2 или составляющих по
х3 могут быть получены из первого заменой индексов.
Нам требуется, таким образом, доказать, что составляющая по хх скорости
распространения энергии равна дсй!дкх, т. е. скорости изменения со по кх
при сохранении к2 и к3 постоянными.
4.5. Общая теория прослеживания луча
385
Эти последние слова и в самом деле подсказывают очень простое
доказательство. Если в системе фиксированы значения к2 и к3 (составляющие
волнового вектора, перпендикулярные направлению хх), она практически
становится одномерной системой, для которой величина q пропорциональна
ехр [i (at - /с^)] и дисперсионное соотношение, связывающее со и Лт1?
одномерно. В этом случае проходит доказательство, приведенное в конце
разд. 3.8, с заменой к и х на кх и хх\ каких-либо других изменений не
требуется. (Например, так как к2 и к3 остаются фиксированными, кг теперь
следует заменить выражением кх (со) - - (1/2) i$k( (со).) В конечном
итоге оказывается, что скорость распространения энергии, перпендикулярная
плоскости хх = = 0, равна daldkx при постоянных к2 и к3, что, по
определению, является частной производной да!дкх.
Таким образом, в однородных анизотропных системах свойства вектора
групповой скорости (включая его тождественность скорости распространения
