Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
простой частный случай общего понятия лучей, которое будет сейчас
развито. Итак, звуковые волны с постоянной скоростью са и волновым
вектором kt имеют частоту
Этот вектор групповой скорости имеет постоянную величину с0 и направлен
вдоль волнового вектора (т. е. перпендикулярен поверхностям постоянной
фазы) в соответствии с результатами, относящимися к скорости и
направлению распространения акустической энергии, которые нам уже
известны из разд. 1.3.
В случае внутренних волн мы возвращаемся к координатам (х, у, z) и к
вектору волнового числа (к, I, т). При этом групповая скорость
является градиентом частоты в пространстве волновых чисел. Если
дисперсионное соотношение записано в виде (24), то групповую скорость
(90) можно представить так:
легко видеть, что множитель в квадратных скобках является единичным
вектором, перпендикулярным волновому вектору (к, I, т).
И без выкладок можно было предвидеть, что U, градиент частоты (24) в
пространстве волновых чисел, должен быть перпендикулярен волновому
вектору, ибо составляющая этого градиента в направлении вектора (к, I, т)
должна быть скоростью изменения со, когда меняется величина, а не
направление вектора (к, I, т), но (24) показывает, что эта скорость равна
нулю.
То обстоятельство, что волны с заданным волновым числом (к, I, т)
продолжают находиться в точках, перемещающихся
(88).
(89)
U = (да/дк, dwidl, ды/дт)
(90).
4.4. Введение в анизотропную дисперсию
381
¦с постоянной скоростью U, свидетельствует о том, что энергия в волнах с
этим волновым числом должна переноситься с той же скоростью. Мы сейчас
проверим, что в синусоидальных волнах U действительно является скоростью
распространения энергии, причем сначала для частного случая внутренних
волн, а затем для общих анизотропных систем.
Для синусоидальных внутренних волн на основании (27) нетрудно видеть, что
поток волновой энергии I = реи имеет то же самое направление, что и
вектор групповой скорости (91), т. е. направление, перпендикулярное
волновому вектору и компланарное с ним и вертикалью. Более того, поток
волновой энергии, осредненный по периоду, равен осредненному произведению
и на избыточное давление (26), а в силу того, что квадрат косинуса имеет
среднее значение 1/2, это произведение равно
где значение со было подставлено из (24). Осредненная волновая энергия на
единицу объема W должна быть средним значением величины р0 (и-и)
(удвоенной кинетической энергии), что вместе с (27) дает
(Последняя дробь в (93) равна величине sec2 9, которая показывает, во
сколько раз возрастает кинетическая энергия одних вертикальных движений,
когда колебания наклонены под углом 0 к вертикали.) Уравнения (91), (92)
и (93) ясно показывают, что скорость распространения энергии HW такова
же, как и групповая скорость U.
То обстоятельство, что групповая скорость внутренних волн параллельна
поверхностям постоянной фазы, означает, что внутренние волны,
генерируемые локализованным источником, никогда не могут иметь уже
знакомый вид (рис. 7) концентрических кольцевых гребней с центром в
источнике. Вместо этого гребни и другие поверхности постоянной фазы
расходятся по радиусам от источника (рис. 76), так как волновая энергия
распространяется вдоль лучей, параллельных этим поверхностям.
Для источника с определенной частотой со ^ N (разд. 4.1) все эти
поверхности направлены под определенным углом *0 = arc cos (a/N) к
вертикали; поэтому вся волновая энергия, генерируемая в области
источника, распространяется под ¦этим углом к вертикали. Таким образом,
она распространяется но поверхности двойного конуса с полууглом раствора
8.
(92)
(93)
382
4. Внутренние волны.
Рис. 76. Шлирен-фотография волн, генерируемых в стратифицированной
жидкости с постоянной частотой Вяйсяля - Брента N колебаниями
горизонтального цилиндра с частотой 0,70 N. Заметим, что поверхности
постоянной фазы расходятся по радиусам ст-источника. (Фотография Д.
Моубрея.)
Лабораторные эксперименты с внутренними волнами часто-проводятся в
стратифицированном солевом растворе с везде-одинаковым вертикальным
градиентом солености -у'д (z), дающим постоянную частоту Вяйсяля - Брента
N. Оптические шлирен-системы очень чувствительны к двумерным изменениям
плотности. Рис. 76 представляет собой шлирен-фотографию картины
двумерного (в плоскости снимка) распространения волн, генерируемых
вертикальным колебанием с частотой о> горизонтального цилиндра (ось
которого перпендикулярна снимку). Поверхностями постоянной фазы являются
при этом плоскости под углом arc cos (co/TV) к вертикали, образующие^ как
иногда говорят, "андреевский крест".
Фотография, представленная на рис. 76, хорошо показывает радиальный
характер поверхностей постоянной фазы, однако-не показывает их движения.
Киносъемка подтверждает, что-точно так же, как во всех движущихся волнах
с длиной волны X, гребни и другие поверхности постоянной фазы движутся
перпендикулярно самим себе с волновой скоростью с =
