Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
за единицу времени). Подстановка со = кс, где с - скорость волны, делает
соотношение (91) особенно похожим на гидродинамическое уравнение
неразрывности (см. разд. 2.1, где рА соответствует к, а и соответствует
с), и действительно, скорость волны иногда называют "фазовой скоростью".
Дисперсионное соотношение для изотропной системы определяет либо с как
функцию к = 2я/К, либо (как в формулах (18) или (35)) со = кс как функцию
от к. Мы воспользуемся последней формулой,
со = со (к), (92)
и предположим, что это дисперсионное соотношение, выведенное для чисто
синусоидальных волн, с хорошей точностью выполняется и для исследуемых
здесь волн (которые локально имеют почти синусоидальную форму).
Подстановка (92) в (91) сразу дает
dk/dt -)- Udk/dx = 0, ( 93)
где величина
U = U (к) = duj/dk (94)
будет называться групповой скоростью. Уравнение (93) означает, что к
постоянно вдоль кривых в плоскости (х, t), удовлетворяющих соотношению
dx/dt = U. Но если к постоянно, то и
U постоянно, так что кривые являются прямыми линиями
х - Ut = const. (95)
(Это рассуждение знакомо, конечно, по разд. 2.8 и 2.9.)
3.6. Введение в теорию групповой скорости 299
Рис. 60. Изображение группы волн на плоскости (х, t). Тонкие линии
указывают траектории гребней волн, которые возникают "из ничего" сзади
группы и исчезают на фронте. Вдоль жирных прямых линий х - Ut - const
длина волны X = 2п/к остается постоянной.
Таким образом, основной факт, касающийся групповой скорости в
рассматриваемом случае, уже получен. Как показано на рис. 60, волны
данной длины 2п/к находятся в точках, расположенных вдоль прямых,
даваемых соотношением (95), и для каждой длины волны имеется своя прямая.
По истечении времени t точка, в которой может быть обнаружена волна с
этой длиной, продвигается на расстояние Ut. Тот, кто воображает, что
волны с длиной 2я/к наблюдались бы через время t на расстоянии ct из-за
того, что гребни движутся со скоростью с = ш/к, не нашел бы их! Он нашел
бы там волны какой-либо совершенно другой длины. Если же он остановит
взгляд строго на точке, движущейся с групповой скоростью U = dco/dk, то
обнаружит, что постоянно наблюдает волны одной и той же длины.
В частном случае гравитационных волн на глубокой воде уравнение (92),
связывающее со и к, принимает простой вид (18) и приводит к соотношению
U = da/dk = d [(gk) i/2]/dk = j (g/k)l/2 =1 (со/к) =4 c. (96)
Таким образом, групповая скорость в этом случае имеет упомянутый выше
удивительно простой вид: она составляет
половину скорости волны.
300
3. Волны на воде
В противоположность этому в любой недиспергирующей системе скорость волны
с не зависит от к. Тогда со = ск равно величине к, умноженной на
постоянную, и поэтому
К этим недиспергирующим волнам, для которых не существует различия между
групповой скоростью и скоростью волны, относятся не только звуковые
волны, но и "длинные" волны (с с - (gh)1/2) на воде постоянной глубины К.
Мы можем воспользоваться формулами из разд. 3.3 для общего случая
гравитационных волн на воде постоянной глубины, чтобы установить переход
от соотношения (96) для волн на глубокой воде к (97) для длинных волн.
Дифференцируя (35), получаем
Эта зависимость изображена на рис. 61, а. Заметим, что U/c возрастает от
значения 0,5 для глубокой воды довольно медленно и даже при значении
длины волны 14h, использованном в разд. 3.3 как критерий "длинных" волн,
групповая скорость все еще на 6% меньше скорости волны.
Другой подход к получению этих результатов основан на записи общего
выражения (94) для U с помощью соотношения между с = со /к и X - 2л /к в
виде
Это означает, что, имея кривую зависимости с от X, мы можем найти
групповую скорость U для данного К как ординату точки пересечения
вертикальной оси координат и касательной, проведенной из точки кривой,
соответствующей длине волны X. Это построение показано на рис. 61, б,
который по-новому характеризует постепенный рост Ulc с увеличением X.
Из соотношения (100) следует еще и то, что для любых волн, у которых с
уменьшается с увеличением X, выполняется условие U > с. Таким образом,
для волн ряби "на глубокой воде" (рис. 56) групповая скорость превышает
скорость волны, когда к < Ят. Действительно, для "капиллярных волн"
(волны ряби с 1<< Хт) из (57) следует, что
U = da/dk = d (ck)/dk = с.
(97)
(98)
так что
U к do 1 / -j I 2/cfe \
с со dk 2 \ sh 2 kh / *
(99)
U - d (kc)/dk - с -f kdcldk = с - Xdc/dX. (100)
U = dl(p-iTk*)m]/dk = -|(a>/fc) =fc. (101)
3.6. Введение в теорию групповой скорости 301
U
с
Х/Л
Рис. 61. а - зависимость отношения групповой скорости U к скорости волны
с от отношения длины волны к глубине X/h. б - общее геометрическое
построение для определения U из графика зависимости с от А,
иллюстрируется здесь для случая гравитационных волн.
Это означает, что скорость распространения энергии капиллярных волн
данной длины превышает скорость с гребней в 3/2 раза. На самом деле
весьма высокая скорость затухания капиллярных волн (разд. 3.5) затрудняет
