Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
простое наблюдение такого соотношения для волн, порожденных начальным
локальным возмущением; однако наглядное экспериментальное подтверждение
того, что для капиллярных волн U > с, описано в разд. 3.9.
Заключение о том, что касательная к графику на рис. 56 пересекает
вертикальную ось координат при значении ординаты, равном групповой
скорости, означает, что минимум групповой скорости соответствует точке
перегиба, в которой % =
302
3. Волны на воде
= 2,54Ат, с = 1,21 ст и U = 0,767ст. Тогда в соответствии с (56)
минимальное значение групповой скорости волн на глубокой воде составляет
0,18 м/с (и достигается при А = 44 мм и с = 0,28 м/с). Вся энергия волн,
порожденных брошенным в пруд камнем, переносится быстрее, так что вскоре
в центре возникает спокойная зона, окруженная волнами длиной от 4 до 5
см. Кажется, что гребни этих волн (так как с > U) возникают "из ничего",
т. е. из этой центральной спокойной области.
Напротив, в условиях мелкой воды в волновой кювете (см. кривую с отметкой
h = 5 мм на рис. 57) график зависимости с от А. является почти
горизонтальным для длин волн, превосходящих 2 см. В соответствии с этим
рябь с такими длинами волн испытывает пренебрежимо малую дисперсию, что,
конечно, и делает ее подходящей для визуального представления звуковых
волн.
В этом разделе было дано введение в теорию групповой скорости, приводящее
достаточно простым, хотя и не вполне строгим путем к заключению о том,
что точка, в которой находится волна с данным волновым числом к, движется
вперед со скоростью U (к). Читатели, впервые приступившие к изучению
групповой скорости, могут быть уверены, что их понимание явления станет
намного глубже, если они продолжат изучение разных подходов, приведенных
в двух следующих разделах.
3.7. Исследование диспергирующих систем методом Фурье
Не только в волнах малой амплитуды на воде, но и во многих других
диспергирующих системах синусоидальные волны, каждая со своим волновым
числом, имеют определенную скорость волны (хотя не одну и ту же для всех
волн), и это наводит на мысль, как отмечено в начале разд. 3.6,
использовать метод Фурье для описания развития возмущений произвольной
формы. Такие возмущения действительно могут быть представлены линейной
комбинацией синусоидальных волн, и мы обнаружим, что их асимптотическая
оценка для больших значений времени, с одной стороны, позволяет строго
доказать установленные в разд. 3.6 свойства групповой скорости и, с
другой стороны, пойти еще дальше, определив, например, асимптотическое
поведение амплитуды и фазы а в неком выражении, подобном (89).
3.7. Исследование диспергирующих систем методом Фурье
303
Для того чтобы развить основные идеи, не обременяя себя сложностями
многомерного анализа Фурье, мы ограничимся в этом разделе строго
одномерным движением. Таким образом, мы рассматриваем изменения только в
направлении оси х. Предположим также (игнорируя до конца раздела
затухание), что синусоидальная волна вида
a exp U (соt - кх)] (102)
(с постоянной амплитудой а) является точным решением линеаризованной
системы уравнений движения при условии, что со и А; связаны дисперсионным
соотношением (92).
Для волн на воде это означает, что исследуются только не зависящие от у
возмущения, создающие цепочку волн с прямолинейными гребнями,
параллельными оси у. Подобные волны могут быть порождены, например,
погружением широкой баржи в глубоком канале (со сторонами, параллельными
оси х). Другие примеры одномерных диспергирующих систем приведены в разд.
4.13. Хотя распространение волн более чем в одном измерении имеет больший
практический интерес, строгое исследование одномерного случая в этом
разделе поможет быстрому и глубокому пониманию групповой скорости. Оно
подготовит читателя также к более полному изучению движения в двух и трех
измерениях в гл. 4; мы увидим, что асимптотическое поведение волн в
случае изотропного распространения, такого, как на концентрической
картине волн на воде, близко к имеющему место в одномерном случае;
исключение состоит в том, что амплитуда содержит дополнительный множитель
х~1/2, соответствующий переносу энергии волн от центра в расширяющихся
окружностях длины 2пх.
Правильное понимание того, как свойства линейной комбинации
синусоидальных волн могут подтвердить концепцию групповой скорости,
получается наложением только двух волн с одинаковыми амплитудами и
примерно равными волновыми числами. Формула сложения косинусов
показывает, что
a cos ((c)^ - к^х) -j- a cos (со2t - к2х) =
= |2а cos [у (со2-coj) t-j (к2 - fej zjj х
Xcos [^Дсог + сщ)* 2 (^2Ф^i) xJ • (ЮЗ)
Здесь множитель в фигурных скобках - медленно меняющаяся (с малым
волновым числом (1/2) (к2 - А;г)) амплитуда представленных последним
косинусом колебаний, имеющих во много раз большее волновое число (1/2)
(к2 + А^). Линейная
304
3. Волны на воде
Рис. 62. Сплошная линия - линейная комбинация (103) двух синусоидальных
волн с одинаковыми амплитудами и примерно равными волновыми числами как
