Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(107) следует, что его преобразование Фурье
оо
F(k) = n~1 | / (х) ехр (ikx) dx, (112)
- ОО
даваемое интегралом только по конечному интервалу, также является
аналитической функцией. Следовательно, к интегралу (110) может быть
применена теорема Коши с тем, чтобы заменить путь интегрирования вдоль
действительной оси к, на которой ф (к) действительна, на путь, на котором
ф (к) имеет положительную мнимую часть. Положительность нужна для того,
чтобы уменьшить абсолютную величину подинтеграль-ного выражения в
интеграле (110) при больших t.
Действительно, такое изменение пути интегрирования легко сделать во всех
точках, кроме стационарных точек функции ф (к). Предположим, например,
что стационарных точек нет, т. е. всюду ф' (&) >0 (обычно это имеет
место, скажем, при х = 0). Тогда мы поднимаем путь интегрирования, т. е.
к каждому действительному к мы добавим малую положительную мнимую часть,
которая (из-за того, что ф' > 0) сделает мнимую часть функции ф (к)
положительной.
3.7. Исследование диспергирующих систем методом Фурье
307
Заметим, что на пути интегрирования, на котором мнимая часть функции ф
(к) равна по крайней мере б, абсолютная величина ехр [г?ф (к)] не
превышает exp (-18). Тогда интеграл (110) также экспоненциально мал для
больших t. Действительно, его величина составляет О [ехр (-?б)[ в том
смысле, что ее абсолютное значение удовлетворяет неравенству
| J F (к) ехр [г?ф (&)] dk ^ [ехр (- f6)] j | F (к) | dk (113)
в силу теоремы о том, что абсолютное значение любого интеграла не
превышает интеграла от абсолютной величины подинте-гральной функции.
Таким образом, в тех случаях, когда фаза ф (к) не имеет стационарных
точек, ослабляющее взаимодействие настолько интенсивно, что возмущения
становятся экспоненциально малыми.
Доказательство для случая, когда всюду ф' (к) < 0 (как может оказаться
при больших x/t), проводится аналогично, за исключением того, что теперь
путь интегрирования должен быть опущен, чтобы мнимая часть функции ф (к)
стала равна положительной величине б. Действительно, чтобы достичь этого,
необходимо добавить к к мнимую часть, приближенно равную
б/ф'(&) (114)
и являющуюся отрицательной, если ф' (к) < 0.
Ситуация, однако, в корне меняется, если ф (к) обладает стационарной
точкой к0, в которой ф' (к0) = 0. С одной стороны от точки к0, где ф' (к)
< 0, путь интегрирования должен быть опущен, а с другой стороны, где ф'
(к) >> 0, он должен быть поднят. Поэтому непрерывность требует, чтобы
путь проходил через саму точку к0, но это противоречит необходимости
роста мнимой части по закону, аналогичному (114) при ф' (к) -0.
Типичное гиперболическое поведение в окрестности стационарной точки к0
кривых, на которых мнимая часть от ф равна б, показано на рис. 63 для
случаев, когда а ф" (к0) < 0 и б ф" (к0) > 0. Формы кривых соответствуют
тому, что разложение Тейлора для ф (к) - ф (к0) имеет вид
ф (к) - ф (к0) = (к - ко)* ф" (к0) + О (к-ко)*. (115)
Для эффективной оценки интеграла (110) путь интегрирования должен быть
изменен так, как это показано на рис. 63.
26*
308
3. Волны, на воде
Рис. 63. Типичное поведение фазовой функции ф (к) в окрестности
стационарной точки к0. На комплексной плоскости к изображены кривые. на
которых ф (к) имеет постоянную мнимую часть (-36, -26, -6, 0, +8, +26,
+36). Случай а: ф" (к0) < 0 (максимум). Случай б: ф" (к0) >¦ 0 (минимум).
Мы можем изменить путь интегрирования в интеграле (110) на такой, на
котором мнимая часть функции ф (к) составит +6 везде, за исключением
окрестности такой стационарной точки, где должен быть использован
связующий отрезок L, чтобы перескочить с одного пути интегрирования на
другой (жирные линии). Случай двух стационарных точек, в котором за
максимумом ф (к) следует минимум, сводится к комбинированию случаев а и
б. Тогда путь интегрирования в интеграле (110) может быть изменен на тот,
который получается соединением жирных линий на обоих графиках.
Таким образом, во всех точках, удаленных от стационарной, путь
интегрирования заменяется на кривую, на которой мнимая часть функции ф
равна по меньшей мере б. Это дает очень малый вклад порядка О [ехр (-?6)]
в интеграл (110), как результат ослабляющего взаимодействия. С другой
стороны, возле любой стационарной точки на отрезке L, соединяющем две
такие кривые, делается добавочный вклад (который не является
экспоненциально малым).
Если кривые на рис. 63 рассматривать как "линии уровня", на которых
абсолютная величина выражения ехр [??ф (&)1 имеет уменьшенное значение
ехр (-?6), то отрезок L, показанный для каждого случая, можно считать
"траекторией наискорейшего спуска" от к0 к этим линиям уровня. По этой
причине метод изменения пути интегрирования часто называют методом
наискорейшего спуска.
3.7. Исследование диспергирующих систем методом Фурье 309
В случае б, например, когда ф" (&0) > 0, для отрезка L справедлива
формула
к - к0 = s ехр ni ) , (116)
где s - действительное, и тогда из соотношения (115) получаем
