Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
среднего от произведения производных по х синусоидальных величин в виде
умноженного на к2 среднего от произведения самих величин и замены
d2q>ldz2 на к2(р (уравнение (16)).
Таким образом, поверхностные волны теряют энергию за счет внутренней
диссипации со скоростью на единицу площади, равной среднему значению
выражения (84). В соответствии с
19-01100
290
3. Волны, на воде
Рис. 59. Число периодов, необходимых для уменьшения в е раз энергии
синусоидальных волн длины X на глубокой воде за счет внутренней вязкой
диссипации.
формулой (26) эта скорость равна произведению 8v/c2 на среднюю
кинетическую энергию на единицу площади или произведению 4мк2 на полную
энергию волны (ровно половина которой приходится на кинетическую
энергию). Поэтому внутренняя диссипация производит относительную потерю
энергии волны 4vk2 за единицу времени, или
8nv&2co-1 (85)
за период. Эту величину можно непосредственно добавить к потерям (74) за
счет трения о дно, которого, однако, нет в волнах на глубокой воде.
На рис. 59 показано, сколько периодов требуется для уменьшения в е раз
энергии синусоидальных волн на глубокой воде за счет внутренней
диссипации, т.е. обратная выражению (85) величина изображена как функция
длины волны. Оказывается, что обычные гравитационные волны затухают очень
слабо: время, необходимое для уменьшения в е раз энергии волн длины 1 и
10 м, составляет 8000 и 250 000 периодов соответственно. Даже для
достаточно коротких гравитационных волн с А. = 0,1 м все еще требуется
250 периодов. Волны с А = 0,01 м в тяжелой жидкости при наличии
поверхностного натяжения затухают намного быстрее, для затухания в е раз
требуется только 16 периодов, а для чисто капиллярных волн с очень малой
длиной 0,001 м требуется 4 периода. Эти результаты мож-
3.5. Затухание
291
но суммировать в виде уже сделанного в разд. 3.4 замечания: среди волн на
глубокой воде самыми чувствительными к вязкому затуханию являются волны
ряби.
Все приведенные выше результаты сформулированы в терминах времени
затухания (в периодах) для бесконечно протяженной цепочки синусоидальных
волн. Мы пока что не изучали свойства цепочки волн с пространственным
градиентом амплитуды; они рассматриваются в следующих за этим разделах.
Было бы естественным предположить, что волны, порожденные некоторым
фиксированным источником, колеблющимся с фиксированной частотой, теряют
энергию по мере удаления от него с той же относительной скоростью на
единицу длины волны, с которой теряет ее бесконечная цепочка волн за
период (т. е. со скоростью потерь, равной величине (74) для трения о дно
и величине (85) для внутренней диссипации). Такое предположение было бы,
однако, ошибочным: в нем неявно подразумевается, что энергия переносится
со скоростью волны с, а не со скоростью, рассчитанной ниже (разд. 3.6 и
3.8) и изменяющейся от значения (1/2) с для гравитационных волн до
значения (3/2) с для капиллярных волн. В этих двух случаях изображенная
на рис. 59 величина должна быть соответственно уменьшена или увеличена на
50 %, чтобы получилось число длин волн, за которое энергия, переносимая
распространяющимся волновым сигналом, уменьшится в е раз. Так, для X > 30
м это расстояние может достигать половины длины земного экватора; это
действительно доказывает, что можно наблюдать гравитационные волны с
длинами в указанном диапазоне, распространяющиеся на такие океанические
расстояния, как 2-107 м, несмотря на то что некоторые дополнительные
нелинейные эффекты взаимодействия с волнами другой длины на таких больших
расстояниях могут рассеивать энергию.
Предыдущее обсуждение, основанное на воображаемом эксперименте по
поддержанию незатухающего безвихревого движения синусоидальных волн с
помощью приложения сил на границе, включая приложение силы (82) к единице
площади свободной поверхности, наводит на вопрос: за счет чего помимо
затухания волновое движение при обычных условиях (без приложения внешних
сил) может отклоняться от такого безвихревого движения? Как, например,
происходит изменение тангенциального напряжения pxz от значения (80) для
безвихревого потока до значения 0 на поверхности?
Ответ легко найти, заметив, что производные от и и w в выражении для pxz
удовлетворяют уравнениям точно такой же формы, как и уравнения (78) и
(79) для скорости. Он состоит в том, что pxz уменьшается от своего
значения для внешнего 19*
292
3. Волны на воде
безвихревого потока до нуля на поверхности в соответствии с законами
стоксовского пограничного слоя, представленными графически на рис. 25.
Пограничные слои на поверхности, где падает до нуля касательное
напряжение, и у дна, где уменьшается до нуля тангенциальная составляющая
скорости, имеют одинаковую структуру и одинаковую малую толщину б,
которая дается графиком с надписью "вода" на рис. 26.
То обстоятельство, что связанная с касательным напряжением диссипация
внутри этого очень тонкого пограничного слоя уменьшается до нуля от
