Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
ехр [Щ(к)] = ехр |^?ф (fc0) - у й2ф" (к0) + О (?s2)j . (117)
Абсолютная величина этого выражения быстро уменьшает,ся как для
положительных, так и для отрицательных s. Вклад в интеграл (110) за счет
интегрирования по отрезку L может быть записан в виде
) (К) + О (s)} ехр [г?ф (к0) -
L
- уй2ф"(А:0) j (1 ~\-0 (ts3)) ds ехр яг ^ , (118)
где F (к) заменено выражением в фигурных скобках и использованы
соотношения (116) и (117). Здесь пределы интервала интегрирования
расширяются в область, где величина подин-тегральпого выражения есть О
[ехр (-?б)[ и, как мы уже предположили, мала. Так что не будет совершена
ошибка большего порядка, чем эта, если мы оценим интеграл от
ехр [-4 teV(*o)]
на всем интервале, где он имеет смысл; это будет гауссовский интеграл
оо
I' ехр ^ Y ts2ty"(k0) j ds = \2п!{Щ"(кй))}1/2 . (119)
- оо
Учет величин порядка О (s) и О (is3) дает в отличие от этого вклады в
интеграл (118) порядка О (t-1). Тогда окончательно интеграл по отрезку L
с погрешностью О [ехр (-?8)] + О (t-1) равен
F (к0)[2л!(Щ" (к0))}1/2 ехр |г [*ф (к0) njj . (120)
Таков асимптотический вклад в интеграл (110) от любой стационарной точки
функции ф, в которой ф"(А:0) > 0.
На рис. 63,а видно, что у стационарной точки, в которой
ф''(&0) < 0, для отрезка L должна быть справедлива формула
k - k0 = s ехр (-^ т ) . (121)
310
3. Волны на воде
Тогда соотношения (117)-(120) справедливы при замене ехр [(1/4)я?] на ехр
[-(1/4)яг] и ф"(&0) на -ф"(&о) (величина которой в этом случае совпадает
с |ф" (/с0) |. Используя функцию sign ф"(/с0), которая равна +1 при
ф"(/с0) >0 (так что при к0 будет минимум ф) и -1 при ф"(/с0) <С 0 (так
что при к0 будет максимум), мы можем сказать, что общий асимптотический
вклад от стационарной точки составляет
F (к0) [2n/(t | ф" (к0) |)]1/2 ехр |г ^ф (к0) + ^-п sign ф" (к0) J}.
(122)
Интеграл (110) асимптотически равен величине (122) в стационарной точке
к0 (где ф' (к0) = 0), если она только одна, или в противном случае сумме
величин (122) по всем стационарным точкам при условии, что ф" (к0) не
равно нулю ни в одной из них. О видоизменениях анализа для случая, когда
ф" (к0) равно нулю (а это означает, что угол наклона траектории
наискорейшего спуска должен выбираться по-другому), см. разд. 4.11.
После использования подстановки (109) получаем асимптотическую форму
интеграла (106) для больших t
F (к0) [2л/ (t | со"(к0) |)]1/2 ехр {с[ со (k0)t -
- к0х + i л sign со" (&0) ]}, (123)
где ко - волновое число, для которого
со '(ко) = xlt. (124)
Таким образом, как и ожидалось, волны с волновым числом к0 находятся в
точках, движущихся вперед с групповой скоростью со' (к0). Заметим также,
что если уравнение (124) имеет два решения (как в случае волн ряби со
значениями длин волн, лежащих по обе стороны от того, при котором
достигается минимум групповой скорости), то вклад вида (123) существует
для каждого из них: волны с различными волновыми числами, но с одинаковой
групповой скоростью находятся в одном и том же месте.
С использованием обозначения (89) выражение (123) означает, что в каждом
случае амплитуда (4 возникших волн принимает вид
Ux, t) = |F(*")| [2я/("|в>*(А0) I)!1/*, (125)
тогда как их фаза а будет
а(х, t) = со (к0) t - к0х + &щ F (к0) + л sign со" (к0), (126)
3.7. Исследование диспергирующих систем методом Фурье
311
где к0 определяется из уравнения (124). Заметим, что такая фаза а
действительно асимптотически удовлетворяет уравнениям (88), так как для
малых изменений х и t мы имеем
da = [со' (к0) dk0] t + со (к0) dt - (dk0) х - k0dx-\-O (Г1), (127)
где первый и третий члены в правой части взаимно уничтожаются в силу
(124). Отсюда легко получить
со"(А;0) dk0 - t~x [dx - со'(&0) dt]. (128)
Это выражение дает ошибку при изменениях arg F(k0) в (127). {Эти
изменения отсутствуют, однако, если начальное возмущение / (ж)
симметрично относительно точки х = 0, в силу чего F{k) становится
действительной согласно (112).) Интерпретация амплитуды ^ (х, t) на
основе энергетического анализа дана в разд. 3.8.
Выше были приведены рассуждения для незатухающих волн. Легко, однако,
выработать видоизмененную теорию в предположении, что затухание имеется,
но мало (как для большинства волн на воде). Результатом будет то же
выражение (123), но с дополнительным множителем, описывающим рассеяние
волн с волновым числом к0 за время t.
Действительно, если ехр [-to (к)] - такой дополнительный множитель,
дающий уменьшение за время t амплитуды волны вида (102) с волновым числом
к, то этот множитель должен быть включен в интеграл (106), даже если
формула (107) для начального возмущения остается неизменной. Тогда анализ
асимптотического поведения интеграла (110) проводится с сохранением фазы
Щ (к) в подынтегральной функции, но с заменой амплитуды F (к) на F (к)
ехр [-to (А)]; конечным результатом будет выражение (123) с такой же
заменой для F (к). Тогда фаза цепочки волн не отличается от фазы (126),
но формула (125) для амплитуды заменится на такую:
