Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лайтхилл Дж. -> "Волны в жидкостях" -> 131

Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.

Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях — М.: Мир, 1981. — 603 c.
Скачать (прямая ссылка): volnivjitkosytyah1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 125 126 127 128 129 130 < 131 > 132 133 134 135 136 137 .. 242 >> Следующая

где t0 (со) - момент времени, в который волна с частотой проходит через
точку х = 0.
Изменение к представляет собой "преломление" в неоднородной среде.
Иллюстрация этого была дана в разд. 3.3, где урав-
t
1Рие. 64. Явление дисперсии в неоднородной среде изображено на плоскости
(х, t). Траектории (140) являются кривыми, вдоль которых частота со
остается постоянной.
3.8, Скорость переноса энергии
315
неяие (40) использовалось для того, чтобы показать, как волны на глубокой
воде с периодом 8 с уменьшаются по длине от 100 до 25 м, когда глубина
воды постепенно уменьшается до 1 м.
Однако даже для пространственно неоднородной системы в общей теории малых
нормальных колебаний предполагается, что не может быть обмена энергией
между модами различной частоты. Поэтому заключение о том, что со
принимает постоянное значение в точках, движущихся вперед с групповой
скоростью U, согласуется с представлением о том, что U является скоростью
переноса энергии синусоидальными волнами.
Теперь мы проверим эту гипотезу прямым вычислением для синусоидальных
гравитационных волн с постоянным волновым числом к, распространяющихся по
воде постоянной глубины h. При исследовании дисперсии эти вычисления
уместны, поскольку в группе диспергирующих волн волновое число меняется
настолько постепенно, что скорость переноса энергии должна быть локально
близка к величине, вычисленной при постоянном к. В теориях, подобных
только что рассмотренной, предполагается, что глубина h изменяется
настолько постепенно, что локальные свойства волн близки к свойствам волн
при постоянном h.
Мы запишем приходящийся на единицу длины гребня поток энергии через
вертикальную плоскость х = const в направлении движения гребней в виде
о
f ре (ду/дх)dz, (143)
-h
где ре - избыточное давление из формулы (8), а ду/дх - составляющая
скорости в положительном направлении оси х. Интеграл (143),
представляющий собой мощность, с которой вода, расположенная в области х
< 0, действует на воду, расположенную в области х > 0, имеет, как и
ожидалось, порядок квадрата от возмущения, тогда как любым дополнительным
интегралом от z - 0 до z = ? (высоты свободной поверхности
по отношению к ее невозмущенному положению z = 0) можно
пренебречь, как величиной третьей степени от возмущений.
Для волны, распространяющейся со скоростью с, соотношения (8) и (14) дают
ре = - р ду/dt = + р сду/дхш (144)
так что выражение (143) для потока энергии на единицу длины гребня может
быть записано в виде
о
2с ] [т р(^ф/^)2] dz' (145)
-h
316
3. Волны на воде
т. е. как произведение 2с на кинетическую энергию на единицу площади
горизонтальной поверхности, обусловленную только горизонтальной
составляющей скорости движения воды. Скорость переноса энергии (которую
мы обозначим через U, предвидя ее равенство групповой скорости) будет
Средняя величина потока энергии на единицу
jj __________________длины гребня_______________ . (146>
Средняя величина энергии волны на единицу ' '
площади горизонтальной поверхности
усреднение проводится здесь за период волны. В формуле (146) энергия
волны является удвоенной величиной кинетической энергии как
вертикального, так и горизонтального движений (удвоенной потому, что
средние значения потенциальной и кинетической энергий равны между собой).
Поэтому в силу (145) имеем
Средняя величина кинетической энергии U горизонтального движения
(147)
с Средняя величина кинетической энергии движения воды
Отсюда легко понять, что: (i) Ulc = 1/2 для глубокой воды, где
горизонтальное и вертикальное движения обладают равными средними
кинетическими энергиями (см. рис. 50), и (ii) U/с =-• 1 для длинных волн,
где почти вся кинетическая энергия обусловлена горизонтальным движением
(разд. 2.2). Более того, правая часть легко вычисляется в случае водоема
произвольной глубины с использованием формул (41) и (42); она равна о
о
j ch 2[k(zJrh)]dzj ^ {ch2 [k (z + A]) + sh2 [k (z + h)]} dz =
-h
о 0
= j' -j- {ch [2k (z -f- h)} -f- 1} dz j j ch [2k(zJ\-h)]dz =
- h -h
= ^-{l + (2kh)/(sh2kh)} (148)
и в точности совпадает с величиной Ulc из формулы (99), полученной
совершенно другим методом.
Проведенные выше вычисления потока энергии помимо подтверждения гипотезы
о равенстве групповой скорости и скорости переноса энергии дают
возможность рассчитать изменение амплитуды волны, движущейся по воде с
постепенно уменьшающейся глубиной. Мы знаем, что волна с периодом 8с
испытывает четырехкратное уменьшение скорости от 12,5 до 3,1 м/с,.
3.8. Скорость переноса энергии
317
когда глубина уменьшается от больших значений до 1 м (рис. 53). Тем не
менее групповая скорость при этом уменьшается только вдвое: от U = (1/2)
с - 6,2 м/с на глубокой воде до V = с = = 3,1 м/с длинных волн (к = 25 м.
a h = 1 м). По формуле (146) поток энергии (на единицу длины гребня)
равен умноженной на U энергии на единицу площади. Следовательно, для
данного значения потока энергии (на единицу длины гребня) в направлении к
Предыдущая << 1 .. 125 126 127 128 129 130 < 131 > 132 133 134 135 136 137 .. 242 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed