Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лайтхилл Дж. -> "Волны в жидкостях" -> 120

Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.

Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях — М.: Мир, 1981. — 603 c.
Скачать (прямая ссылка): volnivjitkosytyah1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 114 115 116 117 118 119 < 120 > 121 122 123 124 125 126 .. 242 >> Следующая

противоположных по знаку скоростей деформаций простых растяжений ди/дх и
dw/dz, которые отвечают деформационному движению в направлении различных
осей; тогда составляющие тензора напряжений, соответствующие осям х и z,
принимают для такого движения вид
Рхх ~ Р - 2рди/дх, pxz = - р (du/dz + dwldx),
(76),
pzx = - р (ди/dz + dw/дх), pzz = р - 2рdw/dz.
Напомним также данное в разд. 1.13 определение составляющих (76),
согласно которому рхх и рхх, например, являются составляющими по осям х я
z скорости изменения потока количества движения в направлении оси х через
единичную площадку в единицу времени. Дивергенция этого потока, в
соответствии с (75) и (76) равная
dPxJdx + dpxzldz = др/дх - pV2^, (77)
дает суммарную скорость потерь составляющей количества движения в
направлении оси х в единице объема жидкости. Таким1 образом, вязкие
напряжения приводят линеаризованное урав-
•288
3. Волны, на воде
нение (4) количества движения в проекции на ось х к виду
р Jduldt = -dpjdx + pV2^ (78)
и аналогично в проекции на ось z:
p0dw/dt = -dpjdz + pV2^. (79)
Стокс отметил, что эти уравнения движения вязкой жидкости точно
удовлетворяются, если мы описываем волны на воде решением уравнения
Лапласа (5) для безвихревого течения. Так, .дифференцируя уравнение (5)
по х и z соответственно, мы получаем, что члены с коэффициентом р в
соотношениях (78) и (79) тождественно равны нулю. И только граничным
условиям, присущим вязкой жидкости, это решение не может удовлетворять,
например, из-за наличия ненулевого горизонтального движения у дна. Мы
объясним, как исправить этот недостаток путем введения пограничного слоя.
С другой стороны, можно npedcmaeumb себе некий эксперимент,
в котором пограничный слой не появится вследствие того,
что растяжимое твердое дно совершает такое же горизонтальное движение
вперед и назад в своей собственной плоскости, какое, как предполагается,
совершают частицы жидкости возле дна (рис. 55) в соответствии с теорией
безвихревого течения. В таком воображемом движении без придонного
пограничного слоя не может быть никакой диссипации энергии, кроме
внутренней диссипации, которую мы теперь и собираемся вычислить. Заметим,
что такое движение дна в своей собственной плоскости не будет производить
никакой работы над жидкостью, поскольку в безвихревом потоке, в
соответствии с формулами (76), величина тангенциального напряжения
рхг = - 2pd2(p/dxdz (80)
¦обращается в нуль при z = - h, где dcp/dz = 0 для всех х.
Однако в таком воображаемом эксперименте безвихревой поток не будет все
же точно удовлетворять граничному условию на свобобной поверхности.
Например, тангенциальное напряжение (80) не обращается в нуль на этой
поверхности. Оно представляет собой ^-составляющую силы на единицу
площади, с которой вода действует на тонкий поверхностный слой,
равновесие которого возможно, таким образом, лишь тогда, когда к этому
слою приложена внешняя сила с равной по величине, но противоположной по
знаку составляющей по оси х. Опять же, наше граничное условие для
безвихревого движения (а именно условие (48), где учтено поверхностное
натяжение) выведено в предположении, что z-составляющей силы на единицу
площади, с которой вода действует на тонкий поверхностный слой
3,5. Затухание
289
(противодействуя другой силе рп - Тд2?,/дх2), является давление р = р0 +
Ре- Формулы (76) показывают, однако, что правильное значение z-
составляющей силы на единицу площади превышает р на - величину
- 2р dw[dz = - 2р52ф/дг2, (81)
и мы опять же делаем вывод, что движение может поддерживаться только
тогда, когда к поверхностному слою приложена внешняя сила с равной и
противоположной по знаку составляющей по оси z.
Сохранение безвихревого движения в линейной теории поверхностных волн
требует, таким образом, не только такого движения у дна, которое
удовлетворяло бы условию прилипания, но также и наличия внешней силы
(2\id\/dxdz, 0, 2рд2ф/5г2), (82)
приложенной к единице площади свободной поверхности. В отличие от
движения у дна эта сила производит над жидкостью работу, которая в
расчете на единицу времени и на единицу площади равна
2у[(дц>1дх) d\ldxdz + (Зф/dz) d\/dz2]z=o. (83)
Здесь в соответствии с линейной теорией значение на свободной поверхности
может быть заменено на значение при z = 0, поскольку различие составляет
величину третьего порядка от возмущений.
Остроумная идея Стокса заключалась в том, чтобы признать, что среднее
значение выражаемой формулой (83) мощности, необходимой для поддержания
незатухающего безвихревого движения синусоидальных волн, должно в
точности уравновешивать скорость, с которой эти самые волны при свободном
распространении теряли бы энергию за счет внутренней диссипации! Более
того, среднее значение выражения (83) в случае синусоидальных волн с
волновым числом к совпадает со средним значением выражения
2p[k2yd<yldz + k2(pd<p/dz]l=o, (84)
в котором два члена из (83) сведены к одинаковой форме посредством записи
Предыдущая << 1 .. 114 115 116 117 118 119 < 120 > 121 122 123 124 125 126 .. 242 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed