Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
концентрической картины новые гребни получаются "из ничего", т. е. из
успокоившейся теперь в центре воды.
Неожиданность, с которой гребни довольно большого размера исчезают на
внешнем краю картины, исключает постепенное затухание (разд. 3.5) как
механизм этого явления. Правильное объяснение, как мы увидим, состоит в
том, что гребни движутся со скоростью волны с, вдвое большей (для "волн
на глубокой воде"), чем групповая скорость U, с которой переносится
вперед энергия в волнах данной длины. Гребень каждой волны опережает,
таким образом, в своем продвижении связанную с ним энергию, так что такие
гребни могут уцелеть, только эволюционируя в гребни более длинных волн.
Это, однако, невозможно для волн на внешнем краю группы (так как
первоначальное возмущение не производит энергии в волнах с большей
длиной), и поэтому гребни здесь могут только исчезнуть.
В решении этих важных вопросов, касающихся групповой скорости, помогают
по крайней мере четыре различных метода исследования. Мы отложим сейчас
исследование с помощью двух уже упомянутых методов - анализа Фурье и
метода энергетических потоков- до разд. 3.7 и 3.8 соответственно, отложим
также еще более общий подход до гл. 4 и проведем в этом разделе
достаточно простой анализ, который, по крайней мере в ограниченном числе
случаев, укажет, каковы существенные свойства групповой скорости и как
найти ее величину.
Простой анализ приемлем для изучения только той поздней стадии, когда,
как описано выше, распространяющиеся от начального возмущения волны
принимают вид протяженной группы гребней с постепенно меняющейся длиной
волны (расстоянием между последовательными гребнями). Спрашивается, как
меняется во времени это пространственное распределение гребней и длин
волн.
Метод связан в основном с изотропным распространением волн. Тем не менее
он является в определенном смысле одно-
3.6. Введение в теорию групповой скорости
297
мерным: исследуется пространственное распределение только под прямым
углом к гребням. Таким образом, в случае распространения изотропных волн
в двух измерениях (скажем, волн на воде с концентрическими круговыми
гребнями) с его помощью изучается радиальное распределение гребней и волн
различной длины. Аналогично, с его помощью изучается радиальное
распределение для сферически симметричного распространения волн в
изотропной трехмерной системе. Метод применим также в общем случае
одномерной диспергирующей системы. Волны на воде могут сами образовывать
такую систему, например, когда цепочка волн на воде с параллельными
прямолинейными гребнями распространяется под прямым углом к линии гребней
(возможно, вдоль канала). Во всех этих случаях мы используем х в качестве
координаты, отсчитываемой под прямым углом к линии гребней.
В методе предполагается, что может быть определена фаза а, поскольку
длина волны изменяется лишь постепенно (на малую долю ее самой от одной
волны к последующей). Фаза является величиной, значение которой на каждом
гребне равно числу л, умноженному на четное число, т. е. она равна 2пл,
где целое п возрастает на 1 для каждого последующего гребня, проходящего
через данную точку. Между гребнями фаза а меняется плавно; во впадинах,
например, а равно числу л, умноженному на нечетное число. Скорость
изменения а во времени равна величине 2л, деленной на период волны, т. е.
равна частоте со, измеряемой в радианах в секунду.
Фаза а зависит не только от времени, но и от
координаты х (расстояния в направлении под прямым углом к линии гребней
волн). В фиксированный момент времени фаза а уменьшается вместе с ж со
скоростью, равной волновому числу к и измеряемой в радианах на метр. (Так
как к = 2п/К, то это соответствует тому, что а уменьшается вместе с х па
2л между гребнями, отдаленными на расстояние X; фаза а уменьшается,
поскольку она была определена так, что гребни, приходящие позже, имеют
большее значение а.) Таким образом, а (х, t) является функцией,
удовлетворяющей соотношениям
да/дх = - к, daldt = со. (88)
Использование этой плавно меняющейся фазовой функции а (х, t) позволяет
смещение поверхности воды представить в форме
1= lx (х, t) exp [ia (х, *)], (89)
где (х, t) - положительная плавно меняющаяся амплитуда.
В окрестности фиксированной точки х0 и фиксированного мо-
298
3. Волна на воде
мента времени t0 фазовая функция почти линейна; действительно,
а(х, t) ж а(х0, t0) - к0(х - х0) + co0(i - t0), (90)
где - к0 и со0 - значения производных в (88) в точке (х0, t0). Тогда
локально в силу (89) при медленно меняющейся амплитуде (4 получается, что
? становится почти синусоидальной волной (с волновым числом к0 и частотой
со0), как и предполагалось ранее.
Из (88) находим соотношение между волновым числом и частотой:
dk/dt 4- ды/дх = 0, (91)
которое можно трактовать как уравнение неразрывности для фазы, поскольку
к - своего рода плотность фазы (фаза на единицу длины), а со - своего
рода скорость изменения потока фазы (фаза, переносимая через данную точку
