Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лайтхилл Дж. -> "Волны в жидкостях" -> 118

Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.

Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях — М.: Мир, 1981. — 603 c.
Скачать (прямая ссылка): volnivjitkosytyah1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 242 >> Следующая

после умножения на силу поверхностного натяжения Т дает добавочную
потенциальную энергию на единицу площади. Вместе с гравитационным вкладом
(l/2)pg?2 получаем для полной потенциальной энергии на единицу площади
выражение
Мы приходим, таким образом, к заключению, что влияние поверхностного
натяжения на энергию волны, так же как и на другие характеристики
синусоидальных волн на воде, будет правильно учитываться, если сделать
замену (50) в формулах для чисто гравитационных волн. Обобщенная
жесткость свободной поверхности увеличивается в [1 + (р g^Tk?] раз;
квадрат частоты для соответствующих колебаний, даваемый ¦формулой (51),
увеличивается (как и ожидалось из общих соображений) также в то же число
раз. Наконец, если сделать •замену (50) в формуле (28), то найдем полную
энергию волны W.
[1 + {дЦдх)*]1!2 - 1.
(62)
(63)
|(рg + Тк*) С*.
(64)
¦3.5. Затухание
283
3.5. Затухание
Синусоидальные волны на поверхности воды, описанные в разд. 3.1-3.4,
испытывают затухание из-за действия трех ¦основных процессов диссипации
энергии, каждый из которых в чем-то подобен одному из механизмов
затухания, уже изученных ранее в разд. 1.13 и 2.7. Во-первых, когда
глубина воды существенно меньше длины волны и волны вызывают заметное
горизонтальное движение вблизи дна (рис. 55), наиболее важным является
трение о дно (оно разбирается в этом разделе в первую очередь). Связанная
с ним диссипация энергии происходит так же, как и для описанных в разд.
2.7 длинных волн, у твердого дна в пограничном слое толщины 6,
представленной (для ламинарного течения) на рис. 26 кривой с надписью
"вода".
Во-вторых, волны на глубокой воде не вызывают движения, а следовательно,
и диссипации за счет трения возле дна. Их затухание происходит с
относительно малой скоростью. Оно связано с механизмом внутренней
диссипации, обусловленной вязкими напряжениями, действующими в волне. Так
же как вклад вязкости в затухание звуковых волн, разобранный в разд.
1.13, он становится существенным только при достаточно малых длинах волн.
В-третьих, мы опишем поверхностную диссипацию - источник затухания,
связанный с отклонением поверхностного натяжения Т от величины, которую
оно принимает в условиях равновесия. Этот механизм, напоминающий вклад
запаздывания в акустическое затухание (разд. 1.13), может оказаться
особенно важным, когда поверхность воды покрыта тонкой пленкой примеси.
Оценим прежде всего затухание волн за счет трения о дно, предположив, что
пограничный слой ламинарный, хотя наш метод оценки оказывается пригодным
и для таких движений, в которых преобладает турбулентное трение. Как было
показано в разд. 2.7, синусоидальные колебания градиента давления (-
dpjdx) возле плоской стенки порождают в тонком ламинарном пограничном
слое показанное на рис. 25 изменение составляющей скорости и в
зависимости от расстояния от стенки (обозначенного там через z, что
соответствует z + h в этой главе). Штриховой линией представлена часть,
находящаяся в фазе с силой (-dpjdx), которая непосредственно нейтрализует
вязкое сопротивление этому движению; сплошной линией представлено
движение, которое отстает по фазе от силы на 90°, поскольку она действует
инерциально, так же как
284
3. Волны на воде
безвихревое внешнее по отношению к пограничному слою движение со
скоростью
иех = (рш) -1 (- dpjdx). (65>
Внутри пограничного слоя толщины 6 суммарный дефицит объемного расхода на
единицу ширины стенки относительно' объемного расхода в безвихревом
движении составляет -й+б
^ (пех - и) dz = (pzco)-1 (-dpjdx) (v/ico)1/2 . (66)
-h
Действительная и мнимая части выражения (66) равны по величине: дефицит
объемного расхода, находящийся в фазе со скоростью иех (суммарная
площадь, получающаяся вычитанием площади под пунктирной линией из площади
под сплошной кривой), равен дефициту, который отстает по фазе на 90° от
иех (площадь под штриховой кривой).
Влияние такого пограничного слоя на волны в воде глубиной h, которая
предполагается намного большей, чем толщина пограничного слоя, легко
оценить с помощью математического понятия толщины вытеснения бх,
определяемой уравнением
~h+б
j (uex - u)dz = uexbi. (67)
-h
Из соотношений (65) и (66) имеем
6, = (vliaJ/J = (v/2<bУ'2 (1 - i). (68)
При таком подходе заключаем, что безвихревое движение вне пограничного
слоя, примыкающего к стенке z = -h, точно такое же, какое получается без
учета вязкости в области с границей
z = - h + б15 (69)'
на которой налагается условие непротекания через границу: d(p/dz = 0. Это
действительно так, поскольку из (67) следует, что объемный расход в
пограничном слое равен -h+б
j udz = uex(8 - St), (70)
-h
т. e. в точности совпадает с величиной, которая получается при
предположении, что во всем пограничном слое скорость принимает значение
скорости внешнего безвихревого потока иехг а нижняя граница сдвигается в
положение -h + 6t. Так как
¦3.5. Затухание
285
задание положения границы в виде (69) при расчете безвихревого течения
Предыдущая << 1 .. 112 113 114 115 116 117 < 118 > 119 120 121 122 123 124 .. 242 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed