Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
без учета влияния вязкости дает правильное распределение объемного
расхода потока, параллельного границе, то условие непротекания на ней
здесь вполне может применяться.
Кратко описанное выше понятие толщины вытеснения подробно развивается в
курсах по гидродинамике, по крайней мере для стационарных пограничных
слоев. В этом случае - действительное число, и это понятие имеет простую
физическую интерпретацию: влияние пограничного слоя на внешний
безвихревой поток как раз такое, какое оказало бы смещение границы в
жидкость на расстояние при отсутствии эффектов вязкости. На первый взгляд
может показаться странным, что толщина пограничного слоя в колеблющемся
потоке комплексна и поэтому такая простая физическая интерпретация не
может быть использована. Тем не менее математическая идея о
тождественности между внешним к пограничному слою потоком и течением,
описываемым решением уравнения для безвихревого потока с границей (69),
остается верной и является еще одной иллюстрацией эффективности описания
колебаний и волн с помощью комплексных чисел.
Для синусоидальных волн с волновым числом к частота, полученная из
решения уравнения Лапласа (5) для чисто безвихревого течения в воде
глубины h, будет
|Ш1гг = Kg + Р-гТк2) к th kh] V\ (71)
Отсюда следует, что частота со при наличии вязкого погранич-
ного слоя определяется выражением (71), но с заменой глубины h на мало
отличающуюся от нее h - бх. Для со получаем выражение
со = со1гг [1 - (In соi?r)ldh\ =
= colrr [1 - (v/^co))1^ (1 - i) k/(sh 2kh)]. (72)
Малая отрицательная действительная часть поправочного множителя в
квадратных скобках сравнительно неважна; она означает малое относительное
увеличение периода колебаний по сравнению с величиной 2я/со1гг из-за
действия вязкости. Напротив, малая положительная мнимая часть выражения в
квадратных скобках соответствует, согласно формуле (14),
экспоненциальному затуханию амплитуды со временем. Хотя в течение каждого
периода 2n/cojrr происходит только малое относительное уменьшение
амплитуды
2л (v/(2a"))1/2 /г/(sh 2kh),,
(73)
286
3. Волны на воде
Рис. 58. Отношение потерь энергии за счет трения о дно к ее значению в
пределе длинных волн, изображенное в зависимости от отношения длины волны
к глубине h/h. (Это график изменения множителя в фигурных скобках в
выражении (74).)
тем не менее результирующее накопленное за много периодов затухание может
быть очень большим.
Относительная потеря энергии за период, которая, конечно, является
удвоенной величиной (73), может быть записана в виде
" [2л (v/(2co))1/%_1] {(2M)/(sh 2kh)}. (74)
Величина в квадратных скобках в выражении (74) представляет собой
относительную потерю волновой энергии за каждый период из-за трения о
дно, как было вычислено в предельном случае длинных волн в разд. 2.7; она
с достаточно хорошей точностью представляет отношение толщины
пограничного слоя (график с надписью "вода" на рис. 26) к глубине.
Выражение (74) еще раз подтверждает правильность этого предельного
значения, поскольку при Л/i -> 0 множитель в фигурных скобках стремится к
1. На рис. 58 показано, как этот множитель уменьшается от 1 при
уменьшении X/h до чрезвычайно низких значений, когда относительные потери
энергии за период становятся значительно меньше величины для
длинноволнового предела, так как все меньше и меньше энергии волн
сосредоточивается там, где может происходить ее диссипация в результате
трения о дно.
Рис. 58 подтверждает, что для волн на глубокой воде, скажем, при h > 0,5
X, затухание за счет трения о дно, как и ожидалось, незначительно. Эти
волны не вызывают вблизи дна какого-либо движения, ,которое могло бы
привести к особенно
3.5. Затухание
287-
сильной сдвиговой деформации, влекущей за собой существенную вязкую
диссипацию энергии в пограничном слое у дна. Следовательно, основной
причиной затухания может быть, внутренняя диссипация при сдвиговом
движении в толще воды.
Точно так же как использование понятия толщины вытеснения упрощает анализ
затухания волн на воде, обусловленного вязкой диссипацией внутри
пограничного слоя (результаты, как и в разд. 2.7, могут быть проверены
прямым вычислением скорости диссипации), так и специальные упрощающие
соображения, выдвинутые Стоксом, позволяют без труда определить затухание
за счет вязкой диссипации вне пограничного слоя в воде произвольной
глубины. Соответствующая скорость потери энергии волны может быть просто
добавлена к скоростям потерь из-за диссипации внутри пограничного слоя,
хотя обычно одна из них является доминирующей.
Синусоидальные волны, распространяющиеся в направлении оси х, вызывают,
как мы видели, движение воды только в направлении осей х и z,
удовлетворяющее, разумеется, уравнению неразрывности
ди/дх -f dw/dz = 0. (75)
Используем понятия отклоненйй (см. разд. 1.13) от "среднего давления" р
(обозначаемого там /?т), возникающих благодаря скоростям деформаций
сдвига duldz и dwldx или благодаря такой комбинации равных и
