Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
функция от х. Штриховая линия - огибающая модуляции, ограничивающая
"пакеты" волн, которые движутся вперед со скоростью, определяемой
формулой (104).
комбинация имеет поэтому форму (рис. 62) ряда "волновых пакетов",
движущихся со скоростью
(со2 - coi)/(&2 - кг) (104)
и не обменивающихся между собой энергией через узловые точки, где их
амплитуда равна нулю. Это наводит на мысль, что в представленном
интегралом Фурье возмущении общего вида, в котором синусоидальные
составляющие с близкими волновыми числами действительно имеют примерно
одинаковые амплитуды, энергия, соответствующая этим волновым числам,
может переноситься со скоростью (104), предел которой при к%^>- кг
является, в соответствии с (94), групповой скоростью.
Хотя приведенное выше рассуждение является чересчур специальным, оно
содержит идею, пригодную для применения в намного более общих случаях.
Удовлетворяющая условию
xlt = (со2 - coi)/(&2 - &i) (105)
точка, в которой "амплитуда" (член в фигурных скобках в (ЮЗ)) принимает
наибольшее значение 2а, передвигается со скоростью (104) по следующей
простой причине: в ней остаются равными фазы сoxt - кгх и со2? - к2х
обоих косинусов в левой части равенства (103), так что оба косинуса
достигают своих максимумов всегда вместе, и тогда эти максимумы усиливают
друг друга. Здесь мы еще раз (как в конце разд. 1.1) пришли к
предварительному представлению (чтобы уточнить его в этом разделе) о том,
что различные синусоидальные волны вместо того, чтобы взаимодействовать,
ослабляя друг друга, могут накладываться с усилением там, где их фазы
стационарны.
Теперь мы перейдем от сложения только двух волн к сложению их
бесконечного числа, рассмотрев интеграл Фурье
ОО
?= j F (к) ехр (г [со (к) t-kx]}dk. (106)
о
S.7. Исследование диспергирующих систем методом Фурье
305
Эта комбинация синусоидальных волн вида (102) принимает начальное
значение L)
Оо
/ (ж) = [ F (к) exp (- ikx) dk (107)
о
в момент t = 0. Мы исследуем асимптотическое поведение интеграла (106)
для больших t в случае, когда начальное возмущение / (х) локализовано в
ограниченной области.
Строго говоря, мы не рассматриваем здесь наиболее общую линейную
комбинацию одномерных волн вида (102): дисперсионное соотношение имеет
обычно более чем одно решение для со; часто, как в соотношениях (18) или
(37), имеется два решения, равных по величине и противоположных по знаку.
Тогда к общей линейной комбинации (106) волн, бегущих в положительном
направлении оси ж, может быть добавлена комбинация волн, бегущих в
отрицательном направлении оси х:
ОС
jG(A)exp{i[- со (к) t- kx]}dk; (108)
о
действительно, ее следует добавить, если необходимо удовлетворить
надлежащие граничные условия (определяющие как ?,
так и dZ,/dt, т. е. в случае волн на воде - положение и ско-
рость поверхности). Так как, однако, задачи нахождения асимптотической
оценки при больших t двух последовательностей волн вида (106) и (108)
математически эквивалентны, мы будем рассматривать только выражение (106)
для волн, движущихся в положительном направлении оси х.
В (106) мы перепишем фазу в виде ?ф(А;), где
ф(/с) = со (k) - kxlt. (109)
Тогда интеграл принимает вид
Оо
?= j F (к) exp [if\|)(A;)] dk, (110)
о
и мы будем изучать его поведение, когда t становится большим, для
фиксированного значения x/t. Это соответствует представле-
Т Как принято в этой книге, физическая величина / (х) дается
действительной частью выражения в правой части равенства (107), в котором
не только экспонента, но и амплитуда может быть комплексной (см. ниже
(112)). Действительно, это то же самое, что сказать: 2/ (х) равно
интегралу (107), взятому от -оо до оо, где F (-к) равно (см. опять (112))
величине, комплексно сопряженной F (к).
20-01100
306
3. Волны на воде
нию (разд. 3.6) о "взгляде наблюдателя", движущегося с фиксированной
скоростью.
Мы докажем, что при больших t интеграл (110) принимает асимптотическую
форму, которая полностью определена набором точек, в которых фаза ?ф(&)
стационарна, т. е. величиной (или величинами) к, при которых ф'(&) = 0. В
силу выражения (109) это будет выполняться там, где
со '(к) = x/t. (Ill)
Это соответствует точкам, по которым, как ожидалось, бежит с групповой
скоростью (94) взгляд наблюдателя. Физически идея стационарной фазы
состоит в том, что отмечалось выше: большое число различных
синусоидальных волн, линейную комбинацию которых образует интеграл типа
(110), может иметь довольно широкий набор фаз, что ведет к большому
количеству взаимосокращений из-за ослабляющего воздействия всюду, за
исключением тех точек, где стационарность фазы дает возможность взаимного
усиления соседних волновых составляющих.
С математической точки зрения возможно наиболее ясное доказательство
этого следует из теоремы Коши. При доказательстве предполагается, что (о
(к), а значит, и ф (к) являются аналитическими функциями от к. Если
начальное возмущение f(x) локализовано в ограниченной области, то из
