Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
h(x,t) = №)| {ехр [-?a(/c0)]} [2jt/(i|со"(/с0) I)]1/3-
(129)
Все результаты этого раздела могут быть доказаны совершенно другим
способом с использованием теории функций действительного переменного.
Идея состоит в замене переменной интегрирования в интеграле (110) на ф,
так что интеграл становится преобразованием Фурье от F{k)dk/dty
относительно ф. Здесь используется общая теория асимптотического
поведения преобразования Фурье, для того чтобы это преобразование
асимптотически выразить суммой членов, соответствующих точкам
сингулярности функции F (к) dk!d\\>, в которых dty/dk = 0.
312
3. Волны на воде
Однако в этом разделе принято доказательство, основанное на теореме Коши,
так как в ней используются более доступные понятия, нежели понятия общей
теории.
3.8. Скорость переноса энергии
Согласно результатам двух последних разделов, групповая скорость
U (к) = da/dk
является скоростью переноса энергии в волнах с волновым числом к. Такая
интерпретация основывается на представлении о том, что в системе,
описываемой линейными уравнениями с постоянными коэффициентами, энергия
не может передаваться от одной части спектра к другой. Поэтому траектория
вида (95), в точках которой находятся волны с волновым числом к, должна
быть траекторией, вдоль которой переносится энергия волн с этим волновым
числом.
Формула (129) основательно подтверждает эту гипотезу. Для любой
распространяющейся волны, описываемой линейными уравнениями, полная
энергия волн Ev, должна зависеть от квадрата возмущения и иметь вид
оо
?w= f C&dx, (130)
- оо
где множитель С не должен зависеть от х для однородной системы.
(Например, для гравитационных волн, движущихся в канале ширины Ь,
будет С = pgb, так как энергия волн на
единицу площади составляет удвоенную потенциальную энер-
гию, вычисленную по формуле (24).) Соотношение (107) для начальной формы
волны дает, таким образом, по теореме Пар-сев а ля формулу
оо
Ew = С j [f(x)]2dx =
- оо
оо оо
= YnС ( \F(k)\2dk=nC \ \F(k)\2dk; (131)
- оо 0
правая часть формулы (131) является интегралом от четной функции от к,
так как в силу соотношения (112) F (-к) есть комплексно сопряженная для F
(к).
3.8. Скорость переноса энергии
313-
Формула (131) означает, что энергия волн с волновыми числами,
заключенными между к0 и к0 + dk, после умножения на множитель затухания
ехр [-2to (&0)] будет равна
кС | F (к0) I2 ехр [-2to (к0) ] dk. (132)
Если эта энергия в асимптотическом смысле сосредоточена в интервале от х
= to' (к0) до х = to' (к0 + dk) длиной
|to'(/c0) - to'(/c0 -f dk)! - t |co"(/c0)| dk, (133)
то па единицу длины приходится энергия
пС \F(ka) |2 (ехр [-2ta (к")1 }!(t |со"(/с0) |). (134)
Но в силу (130) энергия на единицу длины равна умноженному на С
среднеквадратичному значению ? или (1/2) С для синусоидальных волн с
амплитудой Сравнение этого выражения с (134) дает
= |F(k0) | {ехр [-2to (fc0)l} [2л/(^|ю"(А:0) j)]1/2,
(135)
что полностью согласуется с формулой (129) и довольно серьезно косвенно
подтверждает энергетическую гипотезу!
Более того, простая теория из разд. 3.6 моя^ет быть расширена и на
неоднородные системы, а результаты все еще будут согласованы с
представлением о том, что U является скоростью переноса энергии.
Рассмотрим, например, уже упомянутые в разд. 3.3 волны,
распространяющиеся на воде уменьшающейся глубины. Предположим, что
глубина h уменьшается настолько медленно в масштабе длины волны, что
дисперсионное соотношение (35), полученное для случая воды постоянной
глубины h, служит хорошим приближением в каждой точке с локальным
значением h. Предположим далее, что h = h (х), так что глубина меняется
только в перпендикулярном гребням направлении. Тогда (35) принимает вид
неоднородного дисперсионного соотношения
со = со (к, х). (136)
Для любой системы, в которой справедливо соотношение типа (136),
определим групповую скорость как нечто, связанное со свойствами волны при
фиксированном х:
U(к, х) = доэ(к, х)/дк. (137)
Теперь мы, очевидно, не можем вывести уравнение (93) для к из уравнения
(91). Однако можно, умножив уравнение (91)
314
3. Волны на воде
на U и использовав тот факт, что
U dkldt = dto/dt (138)
(так как х сохраняется постоянным в обеих этих производных по времени, а
также в частной производной (137)), получить
<9соIdt + U да/дх = 0. (139)
Уравнение (139) означает, что со сохраняется неизменным вдоль
траекторий на плоскости (х, t), удовлетворяющих равенству
dxldt = U, (140)
хотя в неоднородном случае эти траектории и не являются, вообще говоря,
прямыми линиями (рис. 64), так как из уравнений (136) и (137) мы не можем
сделать вывод, что или U, или к постоянны вдоль траекторий.
Изменение скорости U может быть проще описано, если мы перепишем (136) в
виде к = к (со, х), выразив волновое число через частоту. Тогда
IJ-1 = дк(а,х)1д(о, (141)
так что траектории (140), на которых со постоянна, могут быть рассчитаны
по формуле
X Я
i = f0(w) + j dx = t0 (со) + ^ [<%(co, x)/da>]dx, (142) о о