Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
своего "внутреннего" уровня в самой волне, не влияет существенно на
затухание волны за счет внутренней диссипации. Однако мы закончим этот
раздел указанием обстоятельств, при которых внутри пограничного слоя на
поверхности может возникать очень сильная диссипация.
Такая диссипация на поверхности может вызываться отклонением
поверхностного натяжения Т от своей равновесной величины. В той жидкости,
в которой малое волновое движение порождает малое изменение натяжения Т,
ее составляющая по оси х
должна действовать на полосу поверхности ширины Ьх с параллельными оси у
границами единичной длины, хотя по линейной теории те же самые малые
изменения не производят изменения в составляющей силы по оси z (47).
Таким образом, в пограничном слое на поверхности тангенциальное
напряжение отличается от величины (80), стремясь не к нулю, а к величине
которая должна уравновешивать составляющую в направлении оси х
поверхностной силы на единицу площади (дТ/дх).
Существуют условия, при которых в пограничном слое на поверхности
тангенциальные напряжения настолько сильно возрастают по величине от
внутреннего значения (80) до значения (87) на поверхности, что
возникающая при этом поверхностная диссипация (дополнительная вязкая
диссипация из-за повышенных касательных напряжений в пограничном слое на
поверхности) намного превосходит скорость внутренней диссипации. Этот
механизм объясняет известное явление гашения волн маслом.
Физика явления изменения поверхностного натяжения очень сложна.
Качественное объяснение изменения Т при стягивании и растягивании
поверхности воды волнами основано на физическом принципе, согласно
которому свободная энергия в состоянии термодинамического равновесия
имеет минимум. Сле-
(дТ/дх) 8х
(86)
Рхг = - дТ1дх,
(87)
3.6. Введение в теорию групповой скорости
293
довательно, если площадь водной поверхности А быстро растягивается до
величины А ЬА, то увеличение свободной энергии может существенно
превысить ту величину, которую она принимала бы при медленном обратимом
изменении. С количественной точки зрения возникающее увеличение
поверхностного натяжения в растянутой поверхности оказывается особенно
большим для воды, покрытой чрезвычайно тонким слоем такой примеси, как
масло.
3.6. Введение в теорию групповой скорости
Волны синусоидальной формы рассматривались в разд. 3.2-3.5. Было получено
детальное описание движения воды в волнах малой амплитуды (рис. 50 и 55),
энергетических соотношений для них, а также оценки (рис. 58 и 59)
скорости, с которой их энергия может рассеиваться. Кроме этого, показано,
как скорость волны изменяется в зависимости от её длины (рис. 52, 56 и
57), т. е. выяснены "дисперсионные" свойства волн на воде.
Причины такого внимания к очевидно очень частному случаю синусоидальных
волн указаны в разд. 3.1 и 3.2. С одной стороны, волны на поверхности
воды нередко обнаруживают форму, приблизительно сходную с синусоидальными
волнами малой амплитуды; в частности, как отмечено в разд. 3.2, они могут
иметь "длинные гребни" по сравнению с длиной волны, так что они
приближенно удовлетворяют уравнению, выведенному на основе рассмотрения
бесконечно длинных гребней.
Кроме того, стремление понять поведение синусоидальных волн малой
амплитуды на поверхности воды вызвано еще тем обстоятельством, что
превосходным (а часто и единственным) способом изучения реакции
поверхности воды на малое возмущение более сложной формы является анализ
Фурье. Он позволяет рассматривать такое возмущение как линейную
комбинацию различных синусоидальных возмущений, каждое из которых в
отдельности ведет себя так, как описано в разд. 3.2- 3.5. Более того,
линейность уравнения, описывающего малые возмущения на поверхности воды
(уравнение Лапласа (5) с граничным условием (13), выполняющимся при z =
0), означает, что такая линейная комбинация различных синусоидальных
решений также будет решением.
Между двумя указанными выше причинами изучения синусоидальных волн
существует интересная связь. Предположим,
294
3. Волны на eodfi
например, что какой-то локализованный шторм ограниченной
продолжительности породил океанские волны. Тогда мы обнаружим, что
различные синусоидальные составляющие, на которые может быть разложено
вызванное им возмущение на поверхности воды, будут в некоторый более
поздний момент времени обнаружены в совсем разных местах. Мы можем
сказать, что волны "рассеялись" в обычном смысле этого слова и что
последовательность волн на воде подвержена "рассеянию" в научном смысле
(т. е. она обладает дисперсией - существует зависимость скорости волн от
их длины). Волны с определенными длиной и направлением распространения
будут обнаружены в некоторый более поздний момент вблизи некоторого
определенного места. Это и есть одна из возможных причин (другие будут
указаны в разд. 3.9 и 3.10), по которым, как ранее было отмечено,
наблюдаемые в некотором месте волны могут иметь приблизительно
синусоидальную форму.
