Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Совершенно аналогично обстоит дело и с уравнением колебаний пластинки.
Пластинкой мы называем упругую материальную поверхность, плоскую в состоянии покоя, которая при деформации приобретает і/отенциальную энергию, равную интегралу от некоторой квадратичной формы от главных кривизн поверхности, получающейся при изгибании пластинки. Если обозначить главные радиусы кривизны деформированной пластинки через P1, р2, то подинтегральное выражение для потенциальной энергии имеет вид:
.2 В
А
Ірі+рї)
PI P2
где А и В суть некоторые постоянные, зависящие от материала пластинки; так как величины и, их,..., согласно допущению, достаточно малы, то
мы можем положить
искомая потенциальная энергия изгибания задается поэтому выражением вида:
= J Jj' [(^m)2 2(1 р.)(иххиуу и2ху) ] dxdy (101)
g
с точностью до посгоянного множителя, зависящего от материала пластинки, который мы считаем равным единице.
К энергии U1 присоединяются еще энергии внешних сил, действующих на поверхности и на границе пластинки, а также при известных обстоятельствах еще и энергия заданных на границе изгибающих моментов. Сумма этих энергий выражается интегралом:
U2 = fu dx dy -j- j p (s) uds -f- ^ m ds, ¦ огг
где плотности сил, действующих на поверхности и на границе, и изгибающих моментов, действующих по нормали к границе пластинки,'заданы функциями
Дх,У), p{s) и m(s).
Равновесие снова характеризуется условием, чтобы функция и(х, у) была подобрана так, чтобы сумма U1 -f- U2 достигала минимума, причем 16 Курант-Гильберт. 242
Основные понятия вариационного исчисления
Гл. IV
для допустимых функций сравнения и требуется непрерывность производных вплоть до производных четвертого порядка (впрочем это требование можно значительно смягчить, не меняя этим решения гфоблемы). Чтобы получить для нашей проблемы уравнения Эйлера и естественные граничные условия, мы должны согласно § 5 составил/ вариацию bU=bU1-\-bU2 и приравнять ее нулю. Мы получаем:
Ш, = (ДДи Ьи) dxdy — ^ Mb^—ds — jPЬи ds,
G TT
причем
M (и}= — [цД и + (1 — |А) (Uxx X2n -f 2UxyXпуп -j- ипу2) ] ,
р(") = In дм + (1 — Iа) ^ иху + uyyyny)j
(хп> Уп и xs> УS означают здесь направляющие косинусы внешней нормали п и касательной s). Из условия bU — 0 мы получаем в качестве условий равновесия, во-первых, диференциальное уравнения Эйлера:
ДДи+/= О,
и, во-вторых, так как на границе не заданы никакие ограничительные условия, то мы получаем естественные граничные условия:
P(U)-P = 0 и М(и) — т = 0.
Если пластинка закреплена вдоль границы, т. е. если на границе и Ъи
и — имеют значение нуль, то эти естественные условия отпадают и Ъи
должны быть заменены условиями:
м = 0 и ^ = 0. Ъп
Если же пластинка только подперта 'на границе, т. е. если только сама граница пластинки неподвижна, тогда как касательная плоскость к поверхности пластинки остается, вдоль границы подвижной и может вращаться вокруг касательной к границе, то мы получаем граничные условия:
и = О, уАи + (\-у.)(х2пихх+уІиуу+2хпупиху)-\-т=0ї). (102)
Чтобы получить для пластинки диференциальное уравнение движения (диференциальное уравнение колебаний пластинки), мы попрежнему пользуемся принципом Гамильтона, вводя для кинетической энергии чыраже-
0 Для вариапионных задач пластинки характерно, что выражение
2
^ XX ^yy ^xyt
Которое в качестве выражения типа дивергенции не оказывает никакого влияния на уравнение Эйлера, играет решающую роль по отношению к виду естественных граничных условий. Дополнения и задачи к четвертой главе
243
пне (99). Мы получим тогда, с одной стороны, диференциальное уравнение:
ДД и +р Utt=O
или в более общем случае:
ДД и + р utt+/(*. у, t) = О
и, с другой стороны, соответствующие граничные условия, которые получаются таким же образом, как и выше для случая пластинки, находящейся в состоянии равновесия. Чтобы полностью охарактеризовать действительный процесс движения, мы должны к этим граничным условиям присоединить еще начальные условия, характеризующие начальное состояние, т. е. задать функции и(х, у, 0) и ut(x, у, 0).
§ 11. Дополнения и задачи к четвертой главе.
1. Вариационная задача, соответствующая заданному диференциальному уравнению. Для всякого заданного обыкновенного диференциального уравнения второго порядка
У"= fix, у, У)1
всегда можио найти такую функцию F(x,y,y'), чтобы уравнение [F)y= 0, будучи разрешено относительно у", было эквивалентно данному диференциальному, уравнению (ср. BoIza О., „Vorlesungen uber Variationsrechnung, стр. 37—39).
2. Закон взаимности изопериметрическ/іх задач. Экстремали задачи
/=^ Fix, у, y')dx = extremum
X0
, при добавочном условии
X1
K=^O ix, у, /) dx=const
X0
совпадают с экстремалями задачи K= extremum, J=const, за исключением отмеченного выше особого случая (§ 7, п. 1).
3. Световые лучи, имеющие форму окружностей. Если скорость света пропорциональна у, то световые лучи представляют собой окружности, центры которых лежат на оси х.
