Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
239
стремящиеся удержать границу в положении равновесия, и пусть модуль упругости этих снл, расчитанный на единицу длины, равняется S (s). Тогда потенциальная энергия мембраны с прогибом и(х, у) задается выражением:
ff [I^x+u^—iu \dx dy+J [/'і5»«+!3w]ds•
G Г
Положение равновесия здесь также характеризуется тем, что интеграл достигает минимума, причем допустимые функции сравнения здесь не должны быть подчинены никаким граничным условиям, но должны только удовлетворять формулированным выше требованиям непрерывности. Диференциальное уравнение Эйлера (условие равновесия во внутренних точках мембраны) здесь гласит, если принять, что 'ц =U
bu-{-f(x,y) = 0,
а в качестве естественного граничного условия получается уравнение:
Эти два требования вместе снова составляют краевую задачу.
Из этого общего граничного условия мы можем в качестве предельного случая получить простейшее граничное условие и = О, полагая р = 0 и заставляя о стремиться к бесконечности.
Если о = 0, то наша проблема равновесия, вообще говоря, не имеет решения. С точки зрения физики можно заранее считать вполне вероятным, что мембрана, свободно подвижная над областью G, под действием совершенно произвольных сил не имеет в общем случае устойчивого положення равновесия и что устойчивое положение равновесия мембраны возможно только в том случае, если мы заранее потребуем, чтобы все действующие внешние силы взаимно уравновешивались. В самом деле, этот результат непосредственно следует из нашего вариационного принципа, а именно: для того чтобы наше выражение для потенциальной энергии могло иметь нижнюю грань в случае о = 0, необходимо, чтобы имело место равенство:
[^fdxdy+^pds== 0. (98)
G Г
Чтобы в этом убедиться, дадим прогибу и в нашем выражении Энергии постоянное значение с. Тогда величина энергии будет равняться левой части уравнения (98), умноженной на постоянную с. Поэтому, если левая часть уравнения (98) отлична от нуля, то, выбрав достаточно большое по абсолютному значению с, мы получим, если подберем соответствующим образом знак числа с, сколь угодно большое по абсолютному значению отрицательное значение потенциальной энергии U, и поэтому множество значений энергии U не имеет нижней грани. Если же выполняется условие (98), то решение нашей вариационной задачи или проблемы равновесия не является единственным, ибо, прибавив к решению произвольное постоянное слагаемое с, мы ничем не изменим 240
Основные нонііТия вариационного исчисления
Гл. IV
выражения энергии U и вместе с тем значение ее минимума. Чтобы сделать решение однозначным, мы должны поэтому подчинить и некоторому добавочному условию. Обычно берут для этого условие:
If
udxdy = 0,
о
которое означает, что центр тяжести мембраны остается в положении покоя. Уравнения движения мембраны мы получаем с помощью принципа Гамильтона, положив в основу следующее выражение для кинетической энергии:
Г=! U и)dxdy. (99)
Если на поверхности мембраны действует внешняя сила с поверхностной плотностью f(x, у, t), а на границе мембраны — граничная сила с линейной плотностью P(s. t), и если, кроме того, имеется упругая связь a (s), то принцип Гамильтона требует, чтобы выражение:
Ч *1
j (J [Iк ? -1 (+uD +я*. У'<)к]dx dy dt - \ \)аи2 ds dt'
ри ds dt
t„ g to г
'і
И*
'о Г
имело стационарное значение.
Диференциальное уравнение Эйлера гласит для нашей проблемы так:
рДк — р «„+/(*, у, t) = 0, ловия принимают вид:
-j- au -f-р(s,t) = 0. (100)
а естественные граничные условия принимают вид
дм Ъп
Если же ре*їь идет о закрепленной мембране, для которой граничные значения заранее заданы в виде функции от длины дуги, то условие (100) отпадает и заменяется заданием этих граничных значений.
Тогда как для задачи равновесия принцип минимума непосредственно приводит к краевой задаче диференциального уравнения в том виде, в каком эта задача действительно ставится физическими условиями проблемы, и здесь, как мы позже увидим, вариационная задача выражает по сДи дела самое существо физической проблемы, значение принципа Гальмитона заключается прежде всего в той формальной простоте, с которой получается с помощью этого принципа диференциальное уравнение проблемы. Чтобы, однако, действительно получить решение этого уравнения, необходимо ввести, кроме тех пространственных граничных условий, которые либо сами получаются из принципа Гамильтона, либо ^заранее задаются, еще другие предельные условия, относящиеся ко времени t. Прн применении принципа Гамильтона мы считаем, что Вариационное исчисление
241
допустимые функции сравнения имеют заранее заданные значения в два заданных момента времени t0 и tv Однако в проблемах движения математической физики в общем случае не всегда задаются такого рода предельные условия в отношении переменного t. Обычно задается, помимо граничных условий, только начальное состояние, / т. е. для функций и (х, у, t) и Ut (л:, у, t) задаются значения этих функций в момент t = 0. Таким образом проблемы движения приведут нас к проблемам теории диференциальных уравнений смешанного типа, т. е. к проблемам, в которых заданы как граничные, так и начальные условия.
