Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
о
причем мы предполагаем, что внешняя сила f(x) не зависит от времени; уравнение Эйлера этой вариационной задачи имеет вид:
V-uXX+/(X) = O,
и получается также как частный случай из уравнения движения (94).
Чтобы получить уравнения поперечных. колебаний стержня, мы исходим из определения стержня как одномерного множества непрерывно распределенных материальных частиц, имеющего в состоянии покоя прямолинейную форму и обладающего тем свойством, что приобретаемая им при деформации потенциальная энергия пропорциональна интегралу от квадрата, «ривизны, распространенному по длине
( у9 и)—VU^dXdt Вариационное исчисление
237
стержня. Предполагая снова, что мы имеем право пренебречь более высокими степенями функции смещения и (х, t) и ее производных по сравнению с более низкими степенями, мы получаем для потенциальной энергии деформации выражение вида:
о
тогда как кинетическая энергия сохраняет то же выражение, как и для случая колебаний струны. Предполагая, кроме того, в общем случае наличие внешней силы /(х, t), мы получаем отсюда на основании принципа Гамильтона следующее диференциальное уравнение движения:
9 utt+V-Uxxxx=AX, t), тогда как условие равновесия под действием внешней силы f(x) имеет вид:
• J*«„«—/(*) = О-
Для решения наших вариационных задач первостепенное значение имеет вопрос,- каким граничным или другим предварительно налагаемым ограничительным условиям должно подчиняться искомое решение: Вместо случая неподвижных концов, характеризуемого условиями. и(0) = и (I) = 0 для струны или и (0) ^= Ux (0) = и(1) = их (I) = 0. для стержня с наглухо закрепленными концами, мы можем также рассматривать случай, когда концы остаются свободными, и мы получаем тогда, пользуясь методами § 5, естественные' граничные условия, которые для струны гласят:
их (0,0 =их (IJ) = O, (95)
а для стержня:
и« (0, t) = ихх (I, t) = 0; Uxxx (0, t) = иххх (I, t) = 0. (96)
Если концы струны-не абсолютно неподвижны, но удерживаются с помощью упругих сил, то к предыдущим выражениям для потенциальной энергии присоединяются еще члены, обусловливаемые силами, действую-
Ji Ji
щими на концах, а именно члены A1 — и2 (0, t) и A2 ? и2 (I, t). Эти члены
не изменяют уравнения движения (94), но зато мы получаем теперь, как и в § 5, естественные граничные условия вида:
их (0, t) = hxu (0, ty, их (I, t)=—h2u (I, t)
В остальном сошлемся на дополнения к настоящей главе, где в п. 15 будет проведено исследование более общих граничных условий для случая колебаний стержня.
3. Мембрана и пластинка. Принципиальная постановка вопроса остается такой же, как раньше, и в случае плоской мембраны и пластинки. Под мембраной мы понимаем упругую материальную Поверхность, плоскую в состоянии покоя, потенциальная энергия которой пропорциональна изменению площади поверхности, причем множитель пропорциональности мы назынаем натяжением. Пусть мембрана покрывает в состоянии 238
Основные нонііТия вариационного исчисления
Гл. IV
покоя часть G плоскости лг, у; обозначим через и (х, у) перпендикулярное к плоскости X, у смещение точки мембраны, и пуCTbjэто смещение достаточно мало в том смысле, что мы можем пренебрегать более высокими степенями величин К, Ux, Uy по сравнению с более низкими степенями. Тогда мы можем заменить выражение площади поверхности
jj^"* + "у+1 dx аУ
G
интегралом
ЯК-Ч^К
G
и мы получаем в качестве искомого выражения потенциальной энергии с точностью до постоянного множителя двойной интеграл:
+U^dxdy. (97)
G
Рассмотрим сначала задачу равновесия мембраны. Предположим, что прогиб мембраны и (лг, у) имеет на. границе Г области G заранее заданные значения u = u(s), где s означает длину дуги линии Г, и предположим далее, что на мембрану не действуют никакие внешние силы. Тогда функция к, выражающая прогиб в положении равновесия, определяется следующей вариационной проблемой: для искомой функции и (лг, у), интеграл
Jj (и I + иу) dx dy
G
должен иметь минимальное значение, если в качестве функций сравнения допускать все непрерывные в замкнутой области G функции и, принимающие на границе заданные граничные значения и (s) и которые внутри области имеют непрерывные производные первого порядка и кусочно-непрерывные производные второго порядка 3).
Диференциальное уравнение Эйлера гласит:
Проблема равновесия эквивалентна, таким образом краевой задаче этого диференциального уравнения в частных производных (уравнения потенциала), т. е. нахождению решения диференциального уравнения, удовлетворяющего данным граничным условиям.
Рассмотрим теперь несколько бодее общий случай.' Пусть мембрана находится под действием внешней силы, поверхностная плотность которой во внутренних точках мембраны задается функцией/(х, у); пусть, далее, граница мембраны является свободно подвижной, и пусть на этой границе действуют внешняя сила с , линейной плотностью р (s) и упругие силы,
і) Для решения этой задачи, которой мы займемся впоследствии, имеет, впрочем, большое значение то, что мы имеем право отбросить требование непрерывности вторых производных; от чего решение задачи не изменяется. Вариационное исчисление
