Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Методы математической физики Том 1
Автор: Курант Р.Другие авторы: Гильберт Д.
Издательство: Высшая школа
Год издания: 1966
Страницы: 538
Читать: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202
Скачать:
P.Курант, Д.Гильберт МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, т.1 Предисловие к русскому переводу.
Книга Куранта-Гильберта „Методы математической физики" еще до своего появления на русском языке приобрела заслуженную популярность среди советских математиков и физиков. Ее выход в свет у нас является ценным вкладом в нашу математическую культуру. Меньше всего она претендует на роль учебника: столь многообразный материал (линейная и квадратическая алгебра, теория интегральных уравнений, линейные диференциальные уравнения, обыкновенные и в частных производных, основы вариационного исчисления, теория разложения, функциональные ряды и теория специальных классов функций) не может, при сохранении стиля учебника, уместиться в рамках . одной книги. Она приближается скорее к типу монографии, в которой дается освещение различных математических теорий с новой точки зрения. Поэтому ценность книги прежде всего методологическая — читаїель на классическом материале знакомится с теми методами, которые являются движущими в современном анализе. В книге содержатся прекрасные образцы применения алгебраических, геометрических и вариационных методов к разрешению фундаментальных проблем анализа. Эти методы связаны в современной математике прежде всего с именем Д. Гильберта, крупнейшего математика XX в., руководителя геттингенской математической школы. Фактический автор книги, один из виднейших представителей современного анализа Р. Курант, ставя имя Гильберта в заглавии этой книги, подчеркивает ее связь с кругом идей Гильберта.
Тесная связь анализа с алгеброй была характерной для героического периода развития анализа — для математики XVIII в. Основные операции анализа — диференцирование, интегрирование—заключаются в наложении предельного перехода на алгебраические операции, и потому всякую задачу анализа можно с большим правом рассматривать как результат наложения предельного перехода на алгебраическую задачу. В задаче анализа мы имеем алгебраическое ядро и теоретико-функциональную оболочку, накладываемую предельным переходом. Математика XVIII в. умела проникновенно находить это алгебраическое ядро, но она не видела второй стороны. В качестве примера приведу разложение на элементарные множители Эйлером некоторых трансцендентных (с точки зрения теории функций комплексного переменного — целых аналитических функций) по их нулям, путем распространения на них метода разложения полиномов. Исследования же Вейерштрасса показали, что всякая целая функция в самом деле разлагается по своим нулям, но это разложение только в весьма ограниченных случаях будет иметь тот же вид, что и разложение полиномов. Последняя часть XIX в. и начало XX в. были посвящены более глубокому изучению соотношения между предельными элементами и допредельными; это изучение, вылившееся в создание важнейшей дисциплины, теории VI
Предисловие
фуйкций действительного переменного — базы современного анализа, дало возможность возродиться алгебраическим методам в анализе. Глубочайший образец сочетания алгебраического метода с теоретико-функциональным представляют собой исследования Гильберта в теории интегральных уравнений, связанные с изучением бесконечных квадратических форм; целый ряд замечательных исследований помощью этих методов произведен Курантом и его учениками.
В некоторых работах алгебраический, метод носит эвристический характер: алгебраический случай является тем простейшим случаем, на котором устанавливаются искомые соотношения, которые уже потом, специальными методами, устанавливаются для аналитической задачи. Ал-ґ^бра выполняет здесь роль как бы экспериментальной мастерской для анализа. В качестве примера приведу теорию собственных значений, излагаемую в настоящей книге. Результаты теории собственных значений для алгебраического случая (гл. I) переносятся потом на теорию интегральных (гл. III, § 4) и диференциальных (гл. VI) уравнений.
В других исследованиях, обнаружив некоторые соотношения для алгебраического случая, показываем, что они сохраняются и после перехода к пределу, обращаясь в соответственные аналитические соотношения.
На этом принципе основано новое обоснование теории Фредгольма, принадлежащее Куранту (гл. III, § 8). Для случая так называемого вырожденного ядра интегральное уравнение Фредгольма сводится к [системе алгебраических линейных уравнений, и теоремы Фредгольма превращаются в соответственные теоремы теории линейных алгебраических уравнений. Рассматривая каждое ядро как предел вырожденных, доказывая, что при предельном переходе теоремы Фредгольма сохраняют свою силу, автор дает элементарное изящное построение теории Фредгольма.
В тесной связи с алгебраическими методами выступают в настоящей книге методы геометрические. Связь геометрии и анализа, установленная при самом зарождении анализа, оказалась недостаточно полной. Уже функция, скажем, четырех переменных не может найти в нашей обычной трехмерной геометрии надлежащий эквивалент. Поэтому, анализ влиял на геометрию fe смысле расширения ее тематики. Создание л-мер-иой геометрии позволило геометризировать целый ряд арифметических, алгебраических и аналитических теорий. Так например теория квадратических форм двух и трех переменных есть теория линий и поверхностей 2-го порядка. Приведению их к главным осям отвечает приведение ква-дратической формы к нормальному виду. При этом главные оси поверхности 2-го порядка легко определяются геометрически: например, для эллипсоида большая полуось есть вектор наибольшей длины, соединяющий центр эллипсоида с его границей, меньшая полуось является наименьшим из. этих векторов, средняя полуось — наибольшая из меньших полуосей всех эллипсов, плоских центральных сечений эллипсоида. Эти геометрические определения переносятся на случай п измерений, и теория квадратических форм приобретает непосредственную геометрическую наглядность (гл. I, § 4—5).
